CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

/(A'lf A's, A'„ Ai) = o,

f étant une forme quadratique des A|-, qui sont elles-mêmes des fonctions linéaires des coordonnées circulaires ordinaires a^ a2a3, ah.

Si un élément (A') a pour coordonnées ordinaires (a) et si l'on considère un élément langent au cercle A^-= o, contenant (A), en désignant par ti la distance de (A') ;'i l'élément de contact de cet élément tangent, c'est-à-dire encore la distance du cycle équivalent à A^ = o au cycle décomposable formé de (A') et de (g), on a, comme au n° 419,

ti a;-

i sin2 —

<pS/-F«.

©'• étant toujours le coefficient de ak dans A; et lim étant égal à i . D'ailleurs si ri est le rayon du cercle A!i = o et si cli est la distance de son centre à (A'), on a

• Ji di

2 sin2 — =i

2 rt

Si le cercle A|— o est de rayon nul et se réduit à une série linéaire de coordonnées ('£'), di étant la distance de cette série à (A' ), on a

di=l ik'<

Si le cercle A^-^= o est l'absolu, on a

Si le cercle A^ = o est décomposable en deux éléments contenant (g), son centre est toujours défini; soit Â7 la distance constante d'un élément du cercle à un élément quelconque du centre, et de même di la distance de (A') à un élément quelconque du

centre ; on a ici

sin di A'{

En appliquant aux différentes formes de l'équation /= o, ces différents résultats, on définira, comme au Chapitre précédent, la An. — I. 32

4g8 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

série / par des relations métriques simples qu'il est inutile de développer.

452. Envisageons maintenant une série orientée de seconde espèce, définie en coordonnée- cycliques ordinaires par l'équation quadratique

/(«Il «Si «3, «* I

jointe à la relation

On trouvera, en général, quatre fondions linéaires A; des t ?.), telles que

r = 2a,av— a,e \ \ \ \

l'équation d'un cycle (à) sera

> i Vi- ) \ \ / . \. - o,

et deux cycles | . /. i et (u) seront orthogonaux si l'on a

tandis qu'un cycle de rayon nul sera défini par

> ï - , XJ = o.

On définira les cercles principaux de la série y comme au n" il2, ainsi que les substitutions linéaires qui conservent la série / en même temps que la forme I': el l'on obtiendra toutes les mêmes propriétés générales qu'aux n0' H2 et suivants, pour ainsi dire sans modification.

i-53. D'après son équation, la série/est une série quarlique de seconde espèce, admettant les deux éléments de l'absolu comme éléments doubles; et réciproquement. Les deux groupes de quatre éléments tangents à / contenant les éléments de l'absolu déterminent par leur combinaison les seize foyers de la série/, appartenant quatre par quatre aux cercles principaux, ainsi qu'il résulte aussi des propriétés de la forme doublement quadratique à variables binaires.

Les éléments tangents à /suivant les éléments de l'absolu eux-