CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. /\Ç)r
éléments confondus contenant (g), sont définis par
de sorte qu'il y a trois séries de tels cercles, correspondant aux trois racines de la première équation, p étant une inconnue auxiliaire.
Les lieux des centres des cercles de ces séries sont trois séries quadratiques (D2), (D3), (D4), homofocales entre elles et à la série quadratique fK] de sorte que leurs foyers sont faciles à définir en partant de f.
Les cercles du système qui correspond à (D,) appartiennent à un même réseau, et sont à une distance constante kt de la série linéaire (B/)
7i 72+?/ 73+ pi p/ correspondant à (D/); d'ailleurs
COSÂ"/
ri
W2+P/)2 (73+ Pif
en faisant lim = i .
Les cercles principaux (A/) du n° 4-18 deviennent les cercles décomposables
/•oAo 7*3 A
q-z-T-pi 73+ P:
Les cercles (A3) et (A4) par exemple appartiennent au réseau des cercles bitangents à/, correspondant à (D,). On a, par un passage à la limite évident,
cosAi A2 = cos/i! cos/c-;.
Chaque système de cercles bitangents à /comprend deux cercles de rayon nul ; leurs centres, communs aux séries (D<) et (B,) correspondantes, sont les six éléments tangents doubles de / autres que les éléments de l'absolu.
4g6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
Les séries décomposables contenues dans un système ont déjà été étudiées.
La propriété du n° il7 modifiée convenablement montre que le pôle par rapport à (D/) de la polaire de (By) par rapport à l'absolu a lui-même, par rapport à l'absolu, même polaire que (By) par rapport à (A,); ou bien encore appartient à la polaire de la polaire de (By) par rapport à l'absolu, prise par rapport an cercle décomposable (A)-), polaire réciproque de (A/) par rapport à l'absolu.
Appelons il l'élément At = o; un élément quelconque contenant (g) a en commun avec y quatre éléments répartis en deux groupes, et les deux éléments d'un même groupe sonl tels que la somme des distances de Q à ces deux éléments soit constante et
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(les propriétés permettent de construire I'.. i, par exemple,
connaissant i Da I el i B2 | ainsi que /. -, et de calculer /. :, et /. ■, .
( >u voil encore sans peine, en s'aidanl de la propriété évidente des éléments de contact avec f d'un même cercle bitangent, el cherchant les cercles à éléments de contact confondus, comme au n° il«S, que ces cercles sonl au aombre de douze el que les séries i D3) et (l).( ) par exemple contiennent deux par deux les quatre éléments contenant deux éléments communs à la -«'•rie langenlielle de (D2) et au cercle (A2). De plus, le^ éléments de contact de (D3) et ( I >, | .w ec les éléments indiqués ci-dessus -ont perpendiculaires à(Ba), ce qui détermine sans ambiguïté (D3) et (LV4), homofocales à (D2) quand on connaît (A2) el (B2).
On peut multiplier les propriétés des séries que nous venons d'étudier; mais ce qui précède suffît pour en donner une idée nette.
On pourra aussi discuter les différents cas particuliers, comme au Chapitre précédent; et, en outre, on pourra envisager le cas où la série/, est parabolique; il ne reste alors que deux systèmes tic cercles bitangents, et les séries (D3) et(Dv) correspondantes sont paraboliques et homofocales.
■iol. L'équation d'une série orientée du second degré peut
s'écrire
