Le système S admet comme invariants absolus géomé

(xz)(yt) triques les quantités de la forme - — — f^

1 1 (xt)(yz)

Il est facile de démontrer que tout invariant absolu géométrique rationnel est une fonction rationnelle des invariants absolus particuliers que nous venons de définir. Il suffit de démontrer qu'il en est ainsi, d'après ce qui précède, pour une expression de la forme

(xy)>^(xz)^(xt)>->. . . . (yz'y^(yt)'^. . . . (zt)^

où les /./y sont des exposants entiers positifs ou négatifs, tels que la somme de tous ceux d'entre eux qui ont un indice commun soit nulle. Le théorème est vrai pour trois séries de variables, car alors les \tj sont tous nuls; il suffit donc de faire voir que s'il est vrai pour le système (y), (z), (t), . . . , il est encore vrai pour ce ême système auquel on a adjoint les (x). Or si l'on rem-

(') Cette démonstration a été donnée par M. J. Deruyts (Essai d'une théorie générale des formes algébriques; Bruxelles, 1S91).

place (xz), (xt), (xu), . . , par lears valeurs tirées des équations

(xz)(yt) . (xl)(rz) (xu){yz) ^

(xy)(zt) ~~ 3' (xy){zt) " ' ;' (xy)(zu) '

l'expression considérée prend la forme

a£«aî«a}»...p,

P étant une expression analogue, mais indépendante des (x). Donc le théorème est général, puisqu'il s'applique à I*.