CHAPITRE III. — LES SYSTÈMES LINÉAIRES

et démontrons qu'il l'est encore si l'on adjoint à ces variables les nouvelles variables (x) : il sera alors vrai d'une façon générale.

Le semi-invariant considéré est de la forme A, x, -f- A2x2 ; si A, est nul, A2 est un semi-invariant du système (y), (z), ... ; cl par suite le théorème est démontré.

Si A( n'est pas nul, c'est évidemment un semi-invariant du système {y)-, (s), • • ■ , des poids P( -h i et P2 ; par suite il est de

la forme

Zz(yz)(tu) . . . ViWiSi . . . ,

les premiers facteurs étant en nombre — P,— i, les seconds en nombre P, — P2 + i, dans chaque terme. On peut alors écrire, P, — P2 -+- i étant nécessairement positif,

Ai^i + A22"2 = I.a(xv)(yz)( tu) . . . w<,s2 ... — B2^2 ;

le premier terme du second nombre est un semi-invariant du système (x), (y), (z), . . . , qui est dans les conditions annoncées; donc B2x2 est lui-même un semi-invariant, et l'on est ramené au premier cas, celui où A, était nul, de sorte que le théorème est complètement démontré (').