III. — Les invariants en fonction des racines
61. Considérons un système S composé de variables (5?), (y), . . . , et de formes /" = axp, g = bxv, ... à une seule série de variables : nous supposons toutes les variables de même espèce, comme nous pouvons le faire sans diminuer la généralité.
Mettons en évidence les racines des formes y, g, ... en écrivant
comme au n° 7.
D'après ce que nous avons dit des fonctions symétriques des racines d'une forme telle que /, et ce qui précède, toute fonction entière des déterminants tels que (xy): (xail)), (xb{^), (a{i)a(J])i (b{i'>b{J)), (a^b1^), . . . sera un invariant du système S, si elle est homogène par rapport aux diverses séries de variables, et de plus symétrique et homogène des mêmes degrés par rapport aux divers couples des séries telles que («(l)), («(2,)> • • ' (^(,,)>
Réciproquement, tout invariant entier du système S peut s'exprimer sous la forme d'une fonction entière des (x), (y), • ■ • , (rt(i)), (bil))< . . . jouissant des propriétés de symétrie et d'homogénéité que nous venons d'énoncer; et comme, en outre, ce sera évidemment un invariant du système formé par les (x), (y)- . • .
ClO LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.
et les formes linéaires (xa{i)), (xb'-ïï), . . . , d'après le théorème du n" 55, cette fonction sera une fonction entière des déterminants (xy), (xali)), .... (a{'}b(J}), . . . mentionnés plus haut.
On voit de même que tout invariant absolu géométrique rationnel du système S peut être considéré comme une fonction rationnelle de rapports anharmoniques formés avec les éléments (x), (y) ia{i))i (^iï), .... cette fonction étant
symétrique par rapport aux divers couples des séries formées par les (a^), les (h'J )
Ces propositions mettent en évidence l'importance du théorème relatif à la formation du système complet d'un système linéaire, et celle de la notion de rapporl anharmonique,
(\"2. Appliquons ce que nous venons de dire aux invariants «pie nous avons déjà rencontrés pour un système ici que S.
Si f <i ,! . (m a tout de suite
D/1 , iMV/, /-y '■''"' ny"'2 ' • ■ • (ya(h)ï
?p J Zà (■>■<< ' \(xa - i. . .(ara</'>)'
la sommation étanl étendue à toutes 1rs combinaisons des
racines // à h.
On a
... (xa ■ H yaW)
i xya ' a J ) = - - — rf ,
(xa^)(ya"^)
et par suite la condition D* / o peut s'écrire
l> xya ' a '■ n xya - a • i-. .. xya{h)auV) = o,
la sommation étant étendue à toutes les combinaisons (<7('<'), («('V), ...,.(«(«'*)) des racines h à A. (a«>), (a<2>), . .., (a<A>) restant fixes.
On peut aussi écrire clans 1rs même conditions
X^xyaUJ a{i))(xya^ a<2>) . . . (xyalip-h> a-lp-h)) — o.
Ces équations définissent les /> — // éléments (x) qui forment le système polaire d'ordre h de (y), par une relation entre rapports anharmoniques. Pour h = s , on a
~L{xya^ a ' ) <>:
