CHAPITRE IV. — LES RESULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

second par

Comme on le voit, nous sommes encore ici dans un cas où, pour exprimer que les hi sont liées par q relations linéaires, on obtient une condition nécessaire et suffisante en rendant identiques, dans le déterminant A du n° 52, les variables des deux séries. Eu effet, dès que/ et g- ont q racines communes, les A; sont liées par q relations linéaires.

On pourrait multiplier les résultats de ce genre, et varier de bien des façons les moyens de les obtenir : nous ne nous sommes arrêtés qu'aux plus importants.

69. On peut se proposer de chercher des conditions nécessaires pour que </ formes données ne dépendant que des (x) et de même degré p, J\ , /2, . . . , fq aient r racines communes.

11 faut et il suffit que les deux formes

yrxfx+yr*y*f*-

ïî-Vi-^r1 *«/»+•■

aient r racines communes, quelles que soient les quantités (y) et (z). On peut employer, pour éviter les puissances de(yz) dans le résultat, les combinaisons évidentes

\y;]i--A+ y^\yz\<i-*f^...-k-y\-*z\-*fq-u

V^yl

ly*M*-

où la notation [ys]' désigne le cpiotient à développer.

facile

La condition cherchée sera, par suite, en faisant

J\ = cIqXP -t- CL\XP-XXi -h. . .,

f., = b0xP -+- bixP-lXt -h. . ., / 3 = Go XP -+■ c, xP-Kr.2 -+-...,

l'évanouissement identique du déterminant d'ordre ip — / -+- i

a0[yz]v-*-h 6072*2 1>*]*-3:+-- ■ o

fip--2r+2

otiysyi-i + btfiZilyz]*-*-*-

!>0'l-2~{ -i + cly\-^z'[-^[yzY

— {ip — %r-^-7.)tit\P-ir+i

où les (/) sont de nouvelles variables et où Ton distingue trois groupes contenant chacun respectivement p — r -f- i,j0 — /• -f- 1 et /• — 1 lignes. Ce déterminant peut se transformer, à une puissance près de [7.5] ?~2, dans le suivant, d'ordre /• — i4-</(/> — r + i),

ty>-

yiz\

y*zi

où l'on dislingue : 1" q groupes de p — r + 1 lignes et un groupe de ;• — 1 lignes ; 20 un groupe de ip — /• — 1 colonnes et q — 2 groupes de /> — /■ + 1 colonnes.

^ÎT