CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS. O

68. Revenons à la méthode donnée au n° 6a pour former le résultant clans le cas de p'= p.

Posons, en changeant les notations.

Si nous écrivons

on a

ou

f = aox^^r- a^x\~x a?2+ a2cc1~- x\ ■+■..., g = ô0a?£-i- blx1-^xi^-b2xtl--xl-+-

/z2 = ( a0b.2)xrl '1 -f- [(«0^3) -f-(ai62)]a:/]'~2^2 -i-[(a064)-i-(a163)]a7f-3a7|4-...,

■+- [ («0 #5) ■+- ( «1 bk ) + ( a2 b3 )] a??-3 a?l -f-

0,-6y) = aibj—ajbi.

On voit que le déterminant des coefficients des A/, c'est-à-dire le résultant R dey et g, sera un déterminant symétrique. On voit aussi que la forme

inv'r1 -+- ^2jr2j'2+ a3jv^ ki -. . .

est égale au quotient — — — , symétrique en (<r)

et (y), et invariant.

De même que le résultant peut se mettre sous la forme du déterminant des coefficients des hi, le déterminant R7 du numéro précédent peut se mettre sous la forme du déterminant A du n° 52, dont l'évanouissement exprime que les ht sont liées par q relations linéaires, et dans lequel on remplace les (£) et les (rj) par les {y)> Pour le faire voir, il suffit de remarquer que Ton obtient ainsi, d'après ce qui précède, un invariant, et de montrer que cet invariant est du même degré que l\q par rapport aux ( y) et a même

source : l'égalité des degrés est évidente; nous allons montrer l'égalité des sources sur un cas particulier.

Soit/? = 5, q = 3 ; l'invariant A considéré devient

(a0bi) (a0b2) (a0b3) (ff<A) («0*5)

(a0b3) (a064)-t-(rti63) («0*0 -+-(«164) + (as 63) (a, b5) -+• (a2 64) (a265)

yl — tyiyl -3j?j2 — JÏ- o

yi

■iy\yi

-3jij2

tandis que l'on a

Rs

1 "»Jl7l

— GJl72

- wyïyl

''•.rî.»1

- GjÏJK2

Les coefficients de y\~ (huis ces deux invariants sont respectivement

(a0bi 1 («0*2) («0*3)

(«063) («0*4)— ("l f':: I f"i1^l-T(."|^) + (fl2^)

et

pour montrer leur égalité au signe près, il suffit de multiplier le