CHAPITRE V. LA FORME BILIXÉAIRE. yy
74. Nous allons nous attacher au cas particulièrement intéressant où l'on suppose les séries X et Y coïncidantes, et rapportées aux mêmes coordonnées, ce qui ne diminue pas la généralité; nous étudierons alors le système formé par /', les (x) et les (y).
Nous avons d'abord, outre f et (xy), l'invariant g=f{y, x), que l'on déduit de f en permutant les (x) et les (y). g = o est l'équation de (x) de Y correspondant à (y) de X.
Nous avons aussi les invariants h=/(x, x), k=f(y, y)) égalés à zéro, ils définissent les éléments qui, considérés comme appartenant à X ou à Y, coïncident avec leurs correspondants. Les identités
/— ^ = («12— «u)(ayOi fg — hk = — (' «a a-2-2 — «12 «21 ) (xy)'
nous conduisent encore aux invariants proprement dits
Les invariants y, g, A, k sont d'ordre zéro; (xy), i el j sonl respectivement des ordres — i, i et 2.
Ces sept invariants, dont cinq seulement sont indépendants, forment un système complet.
Comme on le voit, la forme f seule, qui ne dépend que de quatre coefficients, admet cependant deux invariants distincts ielj,
i2 et par suite un invariant absolu géométrique — ; c'est là un fait
exceptionnel.
La signification de i = o est facile à trouver : en effet, pour i = o, on a /= g, et réciproquement; par suite, (y) a toujours même correspondant, qu'il soit considéré comme appartenant à X ou à Y, et ceci n'a lieu que dans ce cas; on dit qu'il y a involution .
h et k sont des formes nulles identiquement, si f se réduit à (xy) ; alors les séries X et Y sont confondues : c'est un cas que nous pouvons écarter.
7o. On peut retrouver les résultats précédents en cherchant directement les éléments doubles, c'est-à-dire ceux qui coïncident avec leurs correspondants, qu'on les considère comme appartenant à X ou à Y.
j8 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.
Il faut en effet, pour trouver de tels éléments, résoudre les équations
or,
ce qui conduit aux équations nouvelles, en appelant - la valeur commune de ces rapport-.
i a2i — p )-ri — atiXi — <>.
«-/, , ./-, (au — p) a?j — <>.
avec
"II
on
ip - / = o.
Les racines de l'équation en p étanl invariantes, puisqu'elles sonl telles <|u<' la forme g-\-$(zy) ail son invariant y nul, on retrouve ainsi l< •- invariants i el /.
Il \ a de us éléments «lu ni île-, confondus -i l'on ;i /- — 4y = o.
Siy'=<>. l'h «graphie esl singulière «i les éléments doubles
sont les éléments \ el I! des deux séries \ el i définies précédemment; si en outre i ", ces éléments sont confondus, el il \ .1 involution singulière.
76. Si les éléments douilles sont confondu- eu O', , on peut ramener /" ;'i la forme canonique
a'xlx\y\ »],<■>•' r'), a\ , n'étant pas nul.
Le- éléments doubles étanl distincts, en les prenant pour les nouveaux éléments fondamentaux O', et <>.. on réduit fh la forme canonique
a , 2 f ., , n (iiini pas nul.
Par quelles transformations arrive-l-on à celte forme simple? Introduisons des variables i s) quelconques; on a
h(x)h{z)=f(x,z)g(x,z)-hj
/(.r, cj — l'.rc,
'-•JTZ
