CHAPITRE VI

LES SYSTÈMES QUADRATIQ1 I S.

79. Nous appelons syslrmrs </mt Iratiques ceux qui résultenl de la considération déformes quadratiques el de variables, celles-ci pouvant d'ailleurs tenir la place de formes linéaires données.

Soit d'abord une seule forme quadratique dont dous mettons les racines en é\ idence

f=z a,.» = ciqx\ -+- ia.\ /-|.''. </ • 1,1 ! ii i,/' i,

Cette (orme qui ne dépend que «le trois coefficients .1 cependanl un invariant d'ordre 2, son hessien; nous poserons en le divisanl

par 2,

Si D = o, f est carré parfait el peul se réduire à a\tx'*i SiD^to. le- racines de/"sonl distinctes; on peul réduire/^ l'une des formes si m j >les

2fl'i r\' , ou a\ vr','2 -f- a '

en prenant pour O', cl O'., les racines de /', ou bien deux éléments conjugués harmoniques par rapport à ces racines : cette dernière réduction peul, par suite, se faire d'une infinité de façons, indépendamment de la valeur des coefficients.

Si l'on considère le système formé par y et des variables (./ . O')' (z)i (0> • • • un système complet d'invariants est constitué par les quantités D, ax-, aY-, . . . aXy, dxz, • • • {xy)> (xz)i • • • > liées entre elles par de nouvelles relations telles que

■' ,-.oyt— «,t><yz= D(j/)(;(j.