II. — Étude du cas spécial

126. Supposons maintenant que les éléments (a{t>) et (a[2)) soient confondus de sorte que

F = A| = CA^i-f- A,^,)2.

Considérons ce cas comme une limite du précédent; gardons par suite les formules du n° 123, et imaginons que D tende vers

zéro. On a

Aya— (yZ)S=D

si Destassez petit pour que •r" soit toujours démodule inférieur à l'unité, et si l'on convient de considérer l'unique détermination du logarithme qui se réduit à i pour (yz) - o, on a, eu développant en série.

yz = — im

(r*)/=-D I {(yZ)]/-Oy 1

en même temps que I) tend vers zéro, faisons augmenter m de façon (pie le produit — 2/w^/ — D tende lui-même vers une certaine limite /: il vient alors, à la limite,

— U yz)

yz = "^ •

el c esl là ce qu'on appelle distance yz flans le cas spécial envisagé .

Cette distance, comptée de ii .'i r . ci délinie sans ambiguïté; en remplaçant la forme générale V parce qu'elle devienl ici, soil V',., on a

et par suite les identités

/■ yz) ■ Ay\z

yy >>. i z z v ' y — o;

de plus la dislance d'un élément quelconque à l'absolu est infinie, et réciproquement.

Le rapporl anharmonique yztu) est égal à

yu.zi

127. Si les éléments fondamentaux sont O, et 02, el si aucun deux ne coïncide avec l'absolu, on peut prendre AI = A1,= i; alors / est la distance Oi O-, ; on a aussi

' i h X-i Xi — ./ >

d'où une interprétation métrique immédiate du rapport —