CHAPITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES

Le déterminant

de la substitution est supposé essentiellement différent de zéro, de façon qu'on puisse écrire inversement

0^27;= )^22^i — ^^12^2? ^y'i^" A22ri — ^1272;

Des formes linéaires telles que ^^ a^i + i2'^25 '^\ ^i -f- '^2-^27 • • • deviendront ^\ x\ + ^1^!,, ^r\^ x\ + v]', ^^^ ... et l'on aura par suite

OU inversement

of[ =^ >^22^i — '^^21?2' ^"-^1= ^22 '-Ql ^^21''^ 2)

Les variables de seconde espèce se trouvent donc, elles aussi, transformées par une substitution linéaire, dite sahstitution transposée de celle faite sur les [x), (jk), ... et dont le déterminant

est Y

Transformons ainsi toutes les variables de première ou de seconde espèce qui entrent dans le système S, et aussi celles qui figurent dans les formes /, g, ... de ce sjstème : il est bien entendu d'ailleurs que si dans S figure une forme linéaire (a[^), par exemple, où les (a) sont constants ^ on ne transforme que les [x). On obtient ainsi un nouveau système S^, composé des nouvelles variables et des nouvelles formes/', g\ . . ., qui est dit transformé du système S par la substitution a-.

Il est évident que les nouvelles formes/*', g' , , , . sont respectivement des mêmes degrés par rapport aux diverses séries de variables nouvelles que les anciennes formes /, g^ . . . par rapport aux séries correspondantes de variables anciennes. Si donc on avait

nous écrirons

Les relations entre les coefficients (a) et (a') de deux formes

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transformées l'une de l'autre, telles que / et f ^ sont faciles à former. On a

i'i rl\ r , -\ / 1 / , 1 ' ■^22 t' '^21 >./ '^12 v/ , Ail c^, 1

/ ==/( All^l-H Ai2^2^ Asi^iH- A22^2; •••5-y-?l g-?2? §~^^T~^^' '"'y

désignons alors par (x), (y), ..., (?)j (v)), ... de nouvelles variables ne Jfîgurant pas dans /, et considérons la polaire multiple

où

Le coefficient

est évidemment égal à la valeur de cette polaire lorsqu'on y fait :

^l=Jl^. . .^ >^ll? ^1=: 7)1=:. ..= -^

071 = ri = . ..= >^i2, $1 = ^f)^--

Les (a) s'expriment aussi facilement à l'aide des [a').

Si le système S est constitué par n couples de variables et par des formes dont les coefficients sont en nombre total N, nous avons ainsi P = a/z + N relations distinctes entre les P éléments constitutifs du système S et les P éléments correspondants du système transformé S^; ces P relations dépendent d'ailleurs des quatre coefficients Çk) de la substitution œ,

12. Les relations dont nous venons de parler forment un système de P équations de transformation pour les éléments du système S, dépendant des quatre paramètres (X). Ces équations sont linéaires par rapport aux P anciens éléments, et si on les met sous forme entière, le déterminant des coefficients de ces P anciens éléments est une fonction des Çk), qui est nécessairement une puissance de S, puisque inversement on peut exprimer les anciens éléments à l'aide des nouveaux, sans ambiguïté, quand S

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