CHAPITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES
OÙ les exposants sont des entiers non négatifs tels que
est une fonction entière et homogène de degré m par rapport aux (a), isobarique et des poids respectifs llm[^^ et Hml^^ par rapport aux indices i et 2.
9. Soit F une fonction entière et homogène de degré m par rapport à des variables en nombre quelconque Ui, u^^ Uz-, • • •• Remplaçons ui par Ui-^-'Xi^i, les çt étant quelconques, et développons F par rapport aux puissances de 1; le coefficient de
P p p'^^ — \^ est ce qu'on appelle d'une façon générale la polaire
d^ ordre h de F, relative aux [u) remplacées par les (<^). Si nous désignons cette polaire par D^^F, on a évidemment
/, p, Pm-/. / ^F d¥ d¥
\ aui du2 àU'^ ]
la puissance qui figure au second membre étant symbolique, c'està-dire que, dans son développement, le produit
\àu3/
h, -t- A3 àh-p
doit être remplacé par , , /
Pour h = o, la polaire est la fonction F elle-même ; pour h:= w, la polaire est la fonction F où l'on a remplacé les {u) par les {v)\ d'une façon générale, le degré de la polaire par rapport aux (^u) est diminué de /i, tandis que son degré par rapport aux {^) est augmenté de /i, et est simplement /^ si F ne contient pas les ((^). On peut envisager les polaires des polaires de F, et ainsi de suite, c'est-à-dire des polaires multiples de F, si F dépend de plusieurs séries de variables (u), (^^0? * • • • ^^ ^ évidemment
les (p) étant indépendants des (?/); plus généralement, on a
ridentité
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SOUS la condition unique que les quantités (u) et ((^^) sont indépendantes les unes des autres et qu'il en est de même des quantités (u^) et (ç).
Dans ces mêmes cas, les polaires multiples se représentent immédiatement sous forme de produits symboliques analogues aux puissances symboliques employées ci-dessus.
10. En particulier, on peut envisager les polaires d'une forme binaire considérée comme fonction des variables. Si / est une telle forme
nous écrirons, par exemple,
à condition toutefois qu'il n'en résulte aucune ambiguïté, ce qui revient à supposer que l'on peut intervertir l'ordre des opérations représentées par les symboles D.
Si /' ne dépend que des variables [x)^ soit/=^a^p, la polaire circP-hyh définit, quand on l'égale à zéro et que l'on regarde [y) comme un élément donné,/? — h éléments qui forment le système potable d'ordre h de (jk). Si [x) appartient à ce système, inversement (jk) appartient au système polaire d'ordre p — A de (^), car on a
On pourra aussi envisager les polaires d'une fonction F des coefficients (a) et (6) de deux formes semblables relatives aux (a) remplacés par les (ft).
