II. - Étude du cas spécial

126. Supposons maintenant que les éléments (a''^) et (a^^^) soient confondus de sorte que

Y =r= Ki=z (Ai^i-h A2^2)^• Gonsidérons ce cas comme une limite du précédent; gardons par suite les formules du n° 123, et imaginons que D tende vers

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l36 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

zéro. On a

si D est assez petit pour que ~^--~ soit toujours de module infé-

rieur à Tunité, et si l'on convient de considérer l'unique détermination du logarithme qui se réduit à i pour (yz) :^ o, on a, en développant en série,

en même temps que D tend vers zéro, faisons augmenter m de façon que le produit — 2 m y— D tende lui-même vers une certaine limite /; il vient alors, à la limite,

et c'est là ce qu'on appelle distance yz dans le cas spécial envisagé.

Cette distance, comptée de (y) à (^), est définie sans ambiguïté; en remplaçant la forme générale A^^ par ce qu'elle devient ici, soit A^, on a

et par suite les identités

de plus la distance d'un élément quelconque à l'absolu est infinie, et réciproquement.

T 1 • / \ , ^ ^ yt .zii Le rapport anriarmonique [yztu) est égal a*^ •

yu.zt

127. Si les éléments fondamentaux sont Oi et O2, et si aucun d'eux ne coïncide avec l'absolu, on peut prendre A^ = A2 = i; alors l est la distance O^ O2 ; on a aussi

xOi= —, ^02 =

d'où une interprétation métrique immédiate du rapport —

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CHAPTTRE X. - LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE BINAIRE. jSj

Supposons actuellement que O^ coïncide avec l'absolu; alors on peut prendre

Ax^ocu

et l'on a

yz =

.r2 ri

et, en particulier,

Oix ~ l — •

Cette théorie coïncide avec la géométrie métrique ordinaire des points en ligne droite. Il n'y a pas ici d'orientation possible.