III. — Les mouvements, les symétries et les similitudes

128. La distance de deux éléments ne change pas quand on fait un changement de coordonnées, ou une transformation homographique quelconque, puisqu'elle ne dépend que d'un rapport anharmonique, à la condition toutefois que, dans le dernier cas, le nouvel absolu soit l'ancien transformé; de plus, dans le cas général, la constante m doit rester la même, et, dans le cas spécial, la constante / doit se changer en l' , telle que l'on ait l^:=l^ S désignant le déterminant de la substitution que l'on a faite sur les (x).

Transformons maintenant les éléments de l'espace (E) par une homographie, quelconque a-

les (x') étant rapportés aux mêmes coordonnées que les (^), et laissons l'absolu, F = A^2j invariable, ainsi que la constante m ou /. On peut alors rechercher les homographies (a-) qui sont telles que la distance /k-s^ de deux éléments quelconques soit égale à la distance y z^ des deux éléments correspondants, au degré près d'indétermination qui se présente toujours quand il s'agit de distances, dans le cas général; ou à un facteur constant près, dans le cas spécial.

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t38 livre I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

129. Envisageons d'abord le cas général : la considération des éléments à distance infinie montre tout de suite qu'une condition nécessaire est que, si l'on applique la substitution a- à l'absolu, on retrouve l'absolu lui-même. Cette condition est d'ailleurs suffisante, si on laisse aux formules toute l'indétermination qu'elles comportent, comme on le voit immédiatement en partant de la définition même des distances.

Cherchons donc les substitutions a- qui, appliquées à F, sont telles que les formes F et F^ définissent les mêmes éléments. On a pour cela les conditions immédiates

Ax^ A>4i Ajx^ ^ Ao ~ Al " Ao '

d'ailleurs on a l'identité

Ax^A^:-— aI^= D(Xfa)2;

la valeur commune des rapports précédents est donc ±:(X[a). Prenons d'abord la valeur -j-(*X[i.)^ les équations

Ax2— Ao(X[J.)= o, Axp,— Ai(X[x)=:o, Ajx^— A2(Xp.) = o

donnent, en supposant que a- n'est pas la substitution identique et que ()^[J'-) n'est pas nul,

Ao __ 2 Al A2 ^

— X2 Xi — [J.2 [^l^

par suite, les substitutions a- correspondantes peuvent s'écrire, en désignant par w^ et (O2 deux paramètres,

^1 = f toi -F Al 0)2 ) ^i -+- A2 W2 a?2 , cc2= — Ao 0)2^1 -H (wi ~ Al 0)2)^2.

Prenons maintenant la valeur — (A[j.); on trouve de même

"^H^ {M=^ o et — [j-i Ao-f- 2 Al Xi -}- A2X2 = o,

cci — 0)2 AoAa^i 4- A2(wi-!- Ai W2)a?'^, ^2 = Ao(w] — AiWa)^?! — 'iJ2Ao A2^2>

en supposant le produit Aq A2 non nul.

Nous trouvons ainsi deux séries distinctes de substitutions o-^ mais en supposant Aq = Ao = i , A, -= o, on voit tout de suite que celles de la première série changent en lui-même chacun des élé-

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