CHAPITRE l. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES. j

l'espace E est considéré comme rempli par les deux séries d'éléments (^), . . . et [x') . . . , et si ces deux séries sont liomographiques, ce fait est exprimé par l'existence d'une substitution linéaire telle que a-.

III. Les nouveaux éléments géométriques non seulement remplissent le même espace E que les anciens, mais encore chaque élément (œ) coïncide avec l'élément (x') que lui fait correspondre la substitution o-. Celle-ci définit alors un changement de coordonnées; les éléments fondamentaux O'^, O^ du nouveau système ont respectivement pour coordonnées de première espèce dans l'ancien système ()hjj ^21)? (^^2 5 ^22) î ils peuvent coïncider avec ceux de l'ancien système, même sans que la substitution cr se réduise à la substitution identique. La condition (^xx^)-=.o exprime ici que l'élément (^) ou (^^) a mêmes coordonnées dans les deux systèmes.

Réciproquement, tout changement de coordonnées est défini par une substitution telle que a-, puisqu'il doit en résulter entre les (^) et les (^^) une correspondance doublement univoque sans exception.

14. D'une façon générale, quelle que soit la façon dont on envisage la substitution a-, une forme / égalée à zéro établissant une relation entre les coordonnées des éléments qui y figurent, la forme f ^ transformée de f par la substitution cr, établit, quand on l'égale à zéro, la relation correspondante entre les nouvelles coordonnées des éléments qui correspondent aux premiers. Si, en particulier, /ne dépend que d'une seule série de variables, /= o définit des éléments fixes ;/^= o définit par leurs nouvelles coordonnées les éléments qui correspondent à ceux-là.

lo. Tandis qu'au point de vue analytique, la substitution t dépend des quatre paramètres (X), il est évident que, au point de vue géométrique, elle ne dépend que de trois paramètres qui sont les rapports des (a) entre eux; en effet, un élément ne dépend que du rapport de ses deux coordonnées, et, pour définir une homographie ou un changement de coordonnées, il suffit d'écrire

Xi ~ 002

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l/| LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE RINAIRE.

Il en résulte par exemple qu'nne homographie est déterminée par trois couples d'éléments correspondants; qu'an changement de coordonnées est déterminé par la connaissance des nouvelles coordonnées de trois éléments.

16. Les substitutions a- formant un groupe, il en résulte que l'on peut dire :

i^ Plusieurs changements de coordonnées successifs équivalent à un seul ;

2° Deux séries d'éléments collinéaires à une même troisième sont collinéaires entre elles ;

3° Un changement quelconque de coordonnées n'altère pas l'homographie de deux séries; et, en particulier, si deux séries remplissant le même espace sont collinéaires, on peut toujours, sans diminuer la généralité, supposer les éléments des deux séries rapportés au même système de coordonnées.

Les Invariants absolus.

17. Désignons par e,,^ e^^ ... et, ... (?p, ou simplement par (e), l'ensemble des éléments qui constituent le système S, et de même par (^e') l'ensemble des éléments du système transformé S' . Les équations de transformation sont de la forme

ei = fi{e, X),

en nombre P, les fi étant linéaires par rapport aux [e), rationnelles par rapport aux Çk) et ne pouvant contenir d'autres dénominateurs que des puissances de S.

Considérons la matrice M

àji àf, dj, df,

dXii âli^ ^^21 àA.22

àfi àfi àfi dfi

d\ii 0)^12 ^^21 0X22

àfp àfy âfp âfv

àlii C)X|2 ^^21 C?A22

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