CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES RINAIRES. l
et supposons que les déterminants d'ordre />(^ £4) tires de cette matrice ne soient pas tous nuls, tandis que (si/?<<4) les déterminants analogues d'ordre p -{- i sont tous identiquement nuls : sauf des cas très particuliers, p sera égal à 4-
Alors, comme Ton sait, l'élimination des (X) entre les équations de transformation conduit à P — p relations distinctes entre les (^e^) et les (g); ces relations peuvent être supposées résolues par rapport à autant d'éléments (e^), convenablement choisis, et écrites, par exemple, sous la forme
les cp/ sont des fonctions algébriques distinctes.
Ceci posé, imaginons que, à l'aide d'une nouvelle substitution linéaire, on passe des (e^) aux (e'^), comme précédemment; on aura alors des relations telles que
d'autre part, puisqu'on peut passer directement des (e) aux i^é') à l'aide d'une substitution linéaire, on a aussi
et, par suite,
oi(e\ e'[, el, ..., e''^) = cp,-(e, g\, e^, ..., e^) (^>p),
et cela quelles que soient les valeurs attribuées k e'I, e'!^, . . . , e'^y Les P — p relations distinctes qui lient les (e^) aux (e) peuvent donc être mises sous une forme particulièrement intéressante qui montre l'existence de P — p fonctions ^i{e) qui ne changent pas de valeur quand on y remplace les (e) par les (e').
Si, d'une façon générale, nous appelons invariant absolu du système S toute fonction F des éléments (e) qui ne change pas de valeur quand on y remplace les (e) par les {e'), c'est-à-dire encore telle que la relation
devienne une identité quand on y remplace les (e') par leurs expressions en fonction des (e) et des Çk), nous voyons que les P — p relations distinctes qui lient eutre eux les (e) et les (e^) sont exprimées par l'existence de P — p invariants absolus distincts que l'on peut former comme nous venons de le dire.
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l6 LIVRE I. — L\ GÉOMÉTRIE BINAIRE.
Toute fonction de ces invariants absolus est elle-même un invariant absolu ; et réciproquement, si l'on imagine un invariant absolu quelconque, il est nécessairement une fonction de ceux que nous venons de former, puisque, dans le cas contraire, il établirait entre les [e) et les [e') une nouvelle relation distincte de celles déjà établies, ce qui est impossible.
18. L'étude des invariants absolus d'un système binaire S est particulièrement importante; pour les connaître tous il suffit, d'après ce qui précède, d'en connaître P — p qui soient distincts, puisque tous les autres sont fonctions de ceux-là. Nous avons appris à en former un tel nombre, qui sont algébriques; soit (p/ l'un d'entre eux : si cp/ est susceptible de prendre k valeurs, il est racine d'une équation entière de degré k, dont le premier terme est cp^, et dans laquelle les autres puissances de cp/ ont pour coefficients des fonctions rationnelles des (e) qui sont évidemment, elles aussi, des invariants absolus. On peut donc toujours former un système de P — p invariants absolus distincts, qui soient rationnels par rapport aux (e). Les invariants absokis que nous considérerons seront toujours dans ce cas. Tout ceci suppose d'ailleurs P !>/:>; dans le cas contraire, il n'j a aucun invariant absolu.
19. Au point de vue géométrique, les seuls invariants absolus intéressants sont évidemment ceux qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux diverses séries de variables et de coefficients qui y figurent. L'existence d'un tel invariant correspond à • une propriété géométrique du système S, propriété qui se traduit par l'existence d'un nombre qui ne change pas de valeur quand on fait une transformation de coordonnées quelconque, ou encore quand on remplace ce système par celui qui lui correspond dans une homograpliie quelconque. Une telle propriété est dite invariante absolue, ou projective absolue.
Réciproquement, à toute propriété de cetle nature correspond évidemiuent l'existence d'un invariant absolu dans les conditions énoncées plus haut, soit, pour abréger, d'un invariant absolu géométrique,
20. Il est facile de prévoir que les invariants absolus d'un sys-
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