Les équations

yu^i, ^2, ^z', >^i, >^2) = o,

où / et/2 sont des formes des degrés/?, et/>2 par rapport aux (.<?;), q\ et q^ par rapport aux (X), définissent, après élimination des ()v).. une série /de degré p\q^-\- p^iq\ en général; c'est le lieu des éléments communs aux séries ternaires f\ et /2, lorsque les QC) varient.

Considérons l'élément tangent (^) à /, en un élément (^) correspondant aux valeurs Çk) des paramètres. Si (X) est un élément de (^), les éléments de (^) sont (p^^-Hp2X), et ceux qui

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igS LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

appartiennent à /sont déterminés par les équations

/i(pi^-}-p2X, X)=nO, /2(pi^ + P2X, X) = o;

ces équations en (p) et ^k) sont vérifiées pour p2:==o et les valeurs considérées pour les ()^), qui correspondent à(^); écrivant que ce système de solutions est double, on obtient l'équation de (i) en égalant à zéro l'un des déterminants tirés de la matrice

àxi

àA

""■^ dx^ d\x dl^ ^ dx^ dli dl'.

En général, la série /* n'aura pas d'éléments cuspidaux; car il faudrait que l'équation de (^) devînt indéterminée. Mais la série/ aura des éléments doubles à éléments tangents distincts; pour les obtenir, écrivons que les équations/ r= o et /s = o? o^^ les Çk) sont les inconnues, ont deux racines communes.

Leur résultant R, de degré fi q2+P2Ç\ par rapport aux (^), doit être nul; de plus, la dérivée partielle de R par rapport au coefficient a de \l' dans/ doit être nulle; cette dérivée est de degré /?i(^2 — i) + /^2^i par rapport aux (^), de sorte que ces

équations K = o et -y- := o ont

racines communes.

Mais ces équations sont encore vérifiées si ^2 a une racine double appartenant à /^ , d'après ce que l'on a dit sur la détermination des racines communes à deux équations; et aussi, si f\ et/2 ont pour racine commune 'k^z=z:o. Dans le premier cas, on a simultanément

dl,

équations qui admettent 2p^p2{Ç2 — 0~^/^2^i solutions.

Dans le second cas, les coefficients de ^7/ et ^^l/ dans / et /s sont nuls, ce cjui donne p^p2 solutions; mais ces solutions appar-

tiennent g^ fois aux équations R = o et

dcx.

:o; si, en effet,

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