CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES

()v^^^), ()^^-^), . . . sont les racines de/2=: o, on a

si }0^^^=o est racine commune à f^ el f2, R^ et B!' ne s'annulent pas, et l'on voit bien par ces formules que le système de valeurs (a;) correspondant est une solution multiple d'ordre ^r. pour R == o

ÔR

et -^ = o.

Enfin, si un système de valeurs (x) correspond à deux racines communes pour /, =: o et /2 = 0i c'est une solution double pour

les équations R = o et — =o, puisque toutes les dérivées de R

par rapport aux coefficients de /'^ et /s sont nulles. Donc, finalement, le nombre des éléments doubles de /sera

soit

p. Siili:^ ^^.,,,(,,,)(,,-,)-H^I ii%^.

188. On peut maintenant envisager une série /* définie par les équations

les// étant des formes de même degré p, et les ( /.) étant liés par ■. une relation telle que

O étant une forme de degré q.

La série /sera de degré yj>^.

L'équation de l'élément (^) tangent à / en (^•) correspondant à (X) se trouve sans peine en écrivant que les séries en (X)

sont tangentes en l'élément (X); on a ainsi

d(D â'-S) t)cp '

5X1 àÏ2 àÏ3

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on a aussi S^fX/=o, en désignant par (X) un élément de (^), comme précédemment; et, par suite, l'équation cherchée est

Xj X2 X3 o

V^ ^ ^A El

dl^ dl-s dl-;i dl^

En général, la série /" n'aura pas d'éléments cuspidaux; car il faut pour cela que l'équation précédente devienne indéterminée. Mais elle aura des éléments doubles ordinaires, correspondant à deux systèmes de valeurs Çk) et (V).

Eliminant les (V) entre les équations

cp(X')=o,

on obtient un résultant de degré 2p^q par rapport aux (X), qui contient en facteur évidemment oÇa) et [/i(^0]^^' ôtant ces facteurs, le quotient n'est plus que de degré (/>- — '^)Ç'i égalé à zéro et combiné avec cp(X)^=:o, il détermine (/?- — i)q^ systèmes de valeurs (), ). Mais parmi ces systèmes, il y en a encore à supprimer : en effet, les séries en (V), définies par les deux premières équations précédentes, sont tangentes en leur élément commun (X), comme le montre un calcul facile, si le jacobien J[/i(^)? /2(^0? /3(^)] ^^^ "^^^^ ^^^ équations J = o et cp = o déterminent donc 3^(/? — i) éléments (X) qui ne répondent pas à la question posée. Finalement, il nous reste (p- — i)^^ — 3(p — i)^ valeurs des (X) correspondant à des éléments doubles de /i , el ceux-ci sont par suite en nombre ( p^— ^)ç^^ ^(p — 0^ ^

On peut ajouter que si la série cp = o a un élément double ou cuspidal, il lui correspond un élément de même nature pour^j en dehors des éléments doubles précédemment déterminés. On a

lyq ^ {pq—i)ipg

donc le genre de /"est le même que celui de la série cp.