IV. — Les enveloppes
193. Considérons toutes les séries en nombre simplement infini représentées par l'écpiation
des degrés/) et q par rapport aux (x) et aux ().), lorsque ces dernières variables sont des paramètres homogènes prenant toutes les valeurs possibles.
Ces séries y forment un ensemble, et il j a ^ de ces séries qui contiennent un élément donné (x). Le lieu des éléments (x) tels que, parmi les q séries de l'ensemble contenant l'un d'eux, il y en ait au moins deux confondues, est une série g qui est dite Venveloppe des séries/.
L'équation de g est obtenue en égalant à zéro le discriminant de /par rapport aux (X); donc g est du degré 2/^(^ — i).
Dans le cas particulier 011/ est linéaire par rapport aux ().), il n'y a pas d'enveloppe; les séries /contiennent />- éléments fixes.
df df
194. L'enveloppe est définie par -^ == 0, -^ = o ; donc, d'après
le n*^ 187, l'équation de l'élément tangent en (^x) correspondant à (X) est obtenue en égalant à zéro l'un des déterminants tirés de
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CHAPITRR V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES. 2o5
la matrice
dx^dX^ dlidX)
Remplaçant l'une des lignes de cette matrice par la somme des deux lignes multipliées respectivement par )., et \^^ il reste, eu vertu des hypothèses,
~ dx^
-hXs
EL
àxi
c'est l'équation de Télément tangent en (.^) à la série /" correspondant à (X); donc l'enveloppe touche toutes les séries/, dites aussi, par suite, enveloppées.
L'équation de l'élément tangent précédemment donnée devient indéterminée si l'on a
)u bien si l'on a
EL
dxi
àf
EL
àx^
dans ces cas, Tenveloppe a en (^) un élément multiple.
Dans le premier cas, l'enveloppée a elle-même en (^) un élément multiple. Si l'enveloppée / a toujours un élément multiple, le lieu.de cet élément appartient à l'enveloppe*, en effet, les coordonnées i^x) de cet élément sont des fonctions des (X) telles que l'on ait touiours
EL
àxi
on a donc aussi
EL
El
dX^
àf dXi
et, par suite,
àf
. df
EL
D'après ce qui précède, le lieu de cet élément multiple appar-
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206 LIVRE ir. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.
lient au moins deux fois à l'enveloppe. On vérifierait aisément qu'il lui appartient deux fois si [x) est un élément double ordinaire sur /*; trois fois si [x) est constamment stationnaire sur y*; etc.
Dans le second cas, Q\) est racine triple pour y =0; en raisonnant comme au n^ 185, on trouvera que i^x) est stationnaire pour l'enveloppe, l'équation de l'élément tangent unique étant obtenue en égalant à zéro l'un des déterminants tirés de Ja matrice
dVjdk2
âl^âll
^ âxiâl^ ' " " dx.20ki " '^ ()xsc)k2 à\'ldA2
âk^dll
c'est-à-dire encore
Al -{- A2 - -1- A3 —
oxi 0X2 Ox-ii
Remarquons encore que l'enveloppe peut contenir certaines enveloppées, ou des parties d'enveloppées qui se décomposent :
cela arrivera si les fonctions ~^ -.— peuvent devenir identiques
oki ok^^ ^
en tout ou en partie pour certaines valeurs des (1).
Dans le cas le plus général, il est facile de déterminer les singularités de l'enveloppe g. Cette série aura un élément cuspidal si l'équation y = o, où les (1) sont les inconnus, a une racine triple, c'est-à-dire si l'on a à la fois
équations qui ont '^P'{q — ^2) solutions.
L'enveloppe g aura un élément double si les équations
ont deux racines communes, ce qui arrivera
fois; mais de ce nombre il faut retrancher le nombre précédemment obtenu pour les éléments cuspidaux, puisque alors les équations considérées ont une racine double commune. Finalement,
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