CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES

g a donc en général ip^-i^q — ?>)(^ — ^) éléments doubles ordinaires.

19o. Si une série g^ est tangente à toutes les séries f d l'ensemble considéré, elle fait nécessairement partie de Fenve loppe g de ces séries. En effet, les équations

déterminent les (^) comme fonctions des (A); on a alors con stamment

-^ dxi -h -^ dx^ -fdx^ âx2

-êf/>^-

-^ dx^ ^dxi

dx^

is, par hypothèse,

à/ dXi

dxs

dxi

dX2

il reste donc -^- <:/)., + -;— cD.>^ = o; d'où, comme précédemment,

Si donc Oq est la série tangentielle de /, et si Aq est la série tangentielle de l'enveloppe g àe f, ou plutôt de la partie de g qui est tangente à toutes les séries/, lorsque g est décomposable, on voit que A^ fera partie de l'enveloppe des séries (Dq.

Toutes les fois que l'enveloppée /est une série linéaire

les /étant de degré ^, l'ensemble des / détermine une série de seconde espèce 4, qui est rationnelle et de degré g] la série tangentielle de ^ fait partie de l'enveloppe des / et coïncide avec elle si 'i n'a pas d'éléments stationnaires ; dans le cas contraire, il faut lui adjoindre les éléments stationnaires de A pour retrouver l'enveloppe des/: si, en effet, (^) appartient à un tel élément, il existe deux séries /confondues contenant (x). Ces résultats sont

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craccord avec ceux du § 2; car si A a p éléments stationnaires, la série tangenlielle de ^ est de degré ^(q — i) — p, et le degré de l'enveloppe des /est 2(5^ — i).