V. ~- Applications
202. Soient [y) et (^) deux éléments correspondants de la hessienne H et de la steinérienne S d'une série /*== a^p= o. On a les équations
Zi r \- z^ -. T— -T- ^3 -^ — - — =0 (t = i,2,o);
dy^dfi ày^àfi ày-^ayt
la première polaire a^p-^z'^^ o de (^) a un élément double en [y)] la (/> — 2 )^'^'''^ polaire (f/.^2^.p-2 =-= o de {y) a un élément double
La steinérienne, obtenue par élimination des [y) entre les équations précédentes est de degré 3 (/> — ^2)-.
D'après le n^ 189, l'élément langent ÇÇ) à S en {z) a pour
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équation, après une réduction facile,
df df df
qri 4/2 ày^
(Q est donc la {p — i^^^q polaire, ou polaire linéaire de {y). La classe de S est évidemment d'après cela 3(/?^ — '^){P' — ^)* S peut être regardée comme l'enveloppe au sens du n" 201 des polaires linéaires a^yjy-i-z=^ o; donc S aura i2(/? — 2)(/? — 3) éléments cuspidaux et - [p — 2)(/? — 3)(3/>2 — (^p — 5) éléments
doubles ordinaires; les éléments cuspidaux sont tels que leurs
premières polaires aient un élément cuspidal ; les éléments doubles
sont tels que leurs premières polaires aient deux éléments doubles.
S a par suite ^{p^ — 2)(4/> — 9) éléments inflexionnels et
7 {P — ^){P — 3)(^^/^^ — 3/? ■ — 8) éléments tangents doubles ordinaires.
Il est évident que S touche les éléments tangents stationnaires de f, puisque, si {y) est commun à / et H, c'est un élément inllexionnel, et l'élément tangent correspondant est sa polaire linéaire.
La liessienne H est de même l'enveloppe des secondes polaires «.rP-Y- = o; elle n'a pas en général d'élément multiple 5 par suite ses singularités sont faciles à déterminer.
Le genre de H et S est le même.
Si [t) et [u) sont tels que leurs premières polaires se touchent en (y), on voit tout de suite que (y) appartient à H; l'élément tangent commun est l'élément {yz) de la cayleyenne, et {tu) touche S en {z), c'est-à-dire est la polaire linéaire de {y)-
203. La caylejenne est la série de seconde espèce lieu des éléments {yz)] pour trouver son degré, on cherchera le nombre des solutions communes aux équations
•^ àyiàyi dy^Jyi dy^âyt
[x) étant quelconque ; ce nombre est 3(/? — 0(P — ^)* Si p = 3, il doit être réduit de moitié, comme l'on sait.
La cayleyenne n'a pas d'éléments cuspidaux en général; ses
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