CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈ3IE DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Cette équation définit la série des éléments (i) tels que k ait une valeur donnée : c'est en général une série biquadratique tangente à CD et à ^ suivant les éléments communs à ces séries et à '^.

Pour k nul ou infini, on retrouve Féqiiation des éléments communs à y et à o' : /^^^ — •^2- q^

Pour /f = — I, on a y^ = o : la série y^ est donc celle des éléments (^) tels que les éléments communs à (Ç) et à / et g forment deux couples conjugués harmoniques.

D'après cela, il est clair que les éléments communs à cp et à y^ par exemple, sont les éléments tangents à f suivant les éléments communs à /et g.

244. De la même façon, les séries du faisceau (cp, i) déterminent par leurs éléments communs avec [x) une involution dans l'espace {x).

Si k est le rapport anharmonique des éléments communs à [x) et cp associés aux éléments communs à (^) et A, on a

\Y^k) ~ ^cîd'fg''

^dd'fg — ^2=0 est donc l'équation des éléments tangents communs kfelg] A = o est la série des éléments [x) tels que les éléments tangents kf etg qui contiennent [x) formentdeux couples conjugués harmoniques. Les éléments communs kfel h sont, par suite, les éléments de contact sur/des éléments tangents communs à /et à g.

Si g se décompose et représente deux éléments (^) distincts ayant (x) en commun, A = o représente les éléments tangents à/ menés par (x). Si g représente un élément (^) double, h est nul identiquement; y=o représente les éléments communs à / et

245. Le discriminant de h est dd'(ee^ — dd')^ et celui de y est ee^ — dd' . Si donc on est dans le cas général, c'est-à-dire si d et d' ne sont pas nuls, on volt que les séries h ely^ se décomposent en même temps, quand on a ee' — dd'=:^ o.

Supposons cette condition réalisée, et employons les formes canoniques; on a alors, par exemple, «22^33 + <^33ft22= o, et les

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éléments fondamentaux Oj et 0^ jouent on rôle particulier. D'après ce qui a été dit plus haut, h se compose de deux éiétiients contenant 0\^ et chacun d'eux contient deux éléments de contact sur chacune des séries /et g des éléments tangents communs à / et g. De même y se compose de deux éléments appartenant à Q|, et chacun d'eux contient deux des éléments tangents à chacune des séries /et g suivant les éléments communs à/ et à g.

De plus, les éléments de la série décomposable du faisceau (/ g) qui a pour élément double Oj ont pour pôles, par rapport à / comme par rapport à g^ les éléments àe y\ et de même les éléments de la série décomposable du faisceau (ç, 4*) ^^^^ ^ pour élément double 0, ont pour polaires, par rapport à/ comme par rapport à g^ les éléments de li.

Les deux couples d'éléments de /et g situés sur 0| sont conjugués harmoniques; les deux couples d'éléments tangents k f et g et contenant 0^ sont de même conjugués harmoniques.

Si A est un élément commun à / et g^ et si B et C sont les deux autres éléments communs à/et g qui ne sont pas alignés avec A et 0^, le couple AB, AG est conjugué harmonique du couple formé par les éléments tangents en A à /et g,

La propriété correspondante a lieu relativement aux éléments communs à cp et A.

Réciprocjuement, chacune des propriétés que nous venons d'énoncer entraîne les autres. Deux séries / et g jouissant de ces propriétés peuvent être dites harmoniques.

Deux cercles orthogonaux, en Géométrie ordinaire, sont un exemple de deux séries harmoniques.

IIL — Les invariants e et e'.

246. Cherchons d'abord quelle est la série définie par les polaires (i) par rapport à / des différents éléments {x) de g. Un calcul simple, exécuté sur les formes canoniques générales, conduit pour cette série à l'équation

eo — cl/ = o.

De même, la série des pôles (œ) par rapport à /des éléments (ç)

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