II. — Les invariants h et

242. Soit (i) un élément de seconde espèce déterminé par (y) et (z) : un élément (pijK+ p2^) de (^) appartiendra à la série Çk) du faisceau (f^ g) si l'on a

Xi[p5 ay2-|- 2pip2%s+ pl<^;s-]+ ^2[Pi ^y2+ 2pip2èj2-l- p| ^::2] = o.

On voit, d'après cela, que les séries (X) déterminent par leurs éléments communs avec (^) une involntion dans l'espace (^) : les éléments doubles de l'involution sont les éléments de contact des deux séries Çk) qui touchent (^). L'involution n'est singulière que si ces éléments sont confondus, c'est-à-dire si Çc) contient un élément commun à /" et g\

243. Considérons en particulier les deux couples d'éléments communs à (i) et à/ et ^ : si A" est le rapport anharmonique qu'ils déterminent, on a

on a d'ailleurs

ay2a.2— a^.z= a^2 z=z cp, hy^h^;-— h^yz~ P|' == ^^ et d'après la définition de -^j^ comme polaire

Cly-i 6^2 2 a^^ hyz + (2^2 6y2 = y^^ = ^'^

donc,

1 — kl -4^'^

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