CHAPITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES

ui^, ... quelques-unes de ces formes pouvant coïncider par suite avec quelques-unes des formes f-, g-) . . • du système S. Considérons le nouveau système Sj composé des variables (^), (jk), « . • et des formes F, G . . . et soit J un invariant d'ordre v de ce système, des degrés A, K ^ ... d'homogénéité par rapport aux coefficients (A), (B), . . . des formes F, G, ... : ce sera aussi un invariant d'ordre v -h [x A + aV2^ + ... du système S.

En particulier, on peut dire par suite que les invariants des invariants d'un système sont eux-mêmes des invariants de ce système.

Comme précédemment, il suffira d'exposer la démonstration de ce théorème sur un cas simple. Soit donc / = axv une forme aux seules variables [x) et un invariant d'ordre [x, F = A^a, de cette forme. Soit J un invariant d'ordre v de F, de degré h par rapport aux (A). Si f'=^ UxT et F^=: A^„)t sont les transformées de / et de F par la substitution a-, on a

Y{a',x')= ^V'¥{a, x), J(A', x')=-- âvJ(A, x).

W étant identique à F, on en conclut que les (A^) sont les mêmes fonctions des {a') que les (A) des (a), au facteur 2~f^ près. Si donc J(Aj x) devient I(a, x) quand on l'exprime à l'aide des {a), on a, d'après les hypothèses faites,

'^-P^\{a', x')=^ ^n(a, x) ou bien

l(a', x')= ov+lJ^/i^a, x),

ce qui montre bien que I est un invariant d'ordre v 4- [i./z de /.

33. Soient un système S et une nouvelle forme F qui soit un invariant d'ordre [a du système S. Considérons F comme dépendant des vai^iables (^), (jk), ^ . . , (^), (v]), . . . , de sorte que

Substituant la valeur de F dans les équations aux dérivées partielles que vérifie F, et égalant à zéro le coefficient de chaque monôme tel que ^^ji^2'Ji'y2 • ° • ?^^2"''h"^2' * * • ' ^^ obtient les importantes relations qui suivent, où les opérations A/y s'appli-

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3o LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

quent aux coefficients (A), considérés comme fonctions des éléments du système S autres que les (^), (y), . . . , (i), (ïi), . . .

^11 Aa^^,A-o;...Xi,X2;... = (ll-{- ki-\- h-h. . .— y-i — y^i — . . ')^/(,,k.;...v.i,v..;..., ^i2^kiA;'-''^i,y-2;-'- =^^^2 AA-^+i/f^— i;...Xi,X2;...-+-- • • — ^-i A/f,/f2;...Xi— i,7C2+i;... — • • • '

A22A^,,/f„;...Xi,X2;... = ([^H-'^2H- h-^' • . — X2 — X, — . . .) AA-i/rs;,..,^^/^;...-

La première et la dernière de ces relations montrent, ce que nous savions déjà, que le coefficient A/,^ /,^.^^^^. est une fonction isobarique des poids respectifs [x + A'^ + /i + . . . — x, — 1^ — . . . , [ji + A2-h 4 + « • • — "^2 — ^^2 — • • • 1 P^r rapport aux indices i et 2.

Supposons que F ne dépende que des (^), et considérons le coefficient A^^o des poids respectifs ^l -{- k et [i.. Il vérifie l'équation A^2F = o, et, de plus, on a successivement

A/c-i,i= T ^2l^/c,0'', Aa-2,2= 7 ^2lA/t.

d'où, en général,

/c(/c-i)...(/ciH-T)

donc tous les coefficients A^-^ ;,^ sont déterminés par A^j-^o? appelé, pour cette raison, source de l'invariant F.

34. Considérons, réciproquement, une fonction G, entière par rapport aux éléments du système S, sauf les (^), qui n'j figurent pas, isobarique par rapport à chaque indice, et vérifiant l'équation A^2G== o. Une telle fonction est dite semi-invariante pour le système S, ainsi réduit : c'est évidemment un invariant pour les transformations du groupe qui résulte des substitutions ^w^ ^K2-> ^227 c'est-à-dire pour les substitutions a- dans lesquelles on a ),2i=:o; une telle fonction se reproduit, après une telle substitution cr, multipliée par )^^', ^22? ^^ ^^ ^^ ^^2 sont ses poids respectifs par rapport aux indices i et 2. Inversement, tout invariant de ce groupe particulier peut être pris sous la forme de G.

Nous observerons que l'on a nécessairement P|^P2; en effet, les identités relatives aux opérations A/y donnent sans peine, avec

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