V. — Théorèmes généraux sur les invariants

31. Soit un système S composé comme précédemment; supposons que dans l'une des formes du système, f par exemple, on regarde certaines variables, soit les (^), comme des constantes : on a ainsi un nouveau système S^. Tout invariant du système S^ est encore, quand on y considère à nouveau les [x) comme variables, un invariant de même ordre du système S. Cette proposition se généralise évidemment : on peut considérer plusieurs séries de variables comme constantes dans plusieurs formes.

Pour démontrer ce théorème, considérons une seule forme aux seules variables (^) et [y) : /*= a^vy^i] le raisonnement que nous allons faire s'étendrait sans peine à tous les cas possibles. Soit F r= Aj<7, la forme/" où les {x) sont regardées comme constantes; soit aussi J(A, y) un invariant d'ordre \k de F.

Effectuons la substitution a- sur les (jk) seules, dans F; F devient F^=: A^.^ et l'on a

Dans F' faisons subir aux (^x) la transformation c; on obtiendra F'^:=^ A'^,^, et cette forme sera évidemment identique à/^= <^4"Fy"75 obtenue en transformant dans /les [x) et les [y) par la substitution <7. Si donc on considère les (A^) comme fonctions des [a') et des {x')^ comme ils sont égaux aux (A^^), on voit que ce sont les mêmes fonctions des {a') et des [x^) que les (A) des (a) et des [x). Par suite, en désignant par I(<2, x, y) ce que devient J(A, y) quand on l'exprime à l'aide des {a) et des (^), on a :

ce qui démontre le théorème.

32. Soit un système S et considérons de nouvelles formes F, G, . . . qui soient des invariants du système S, des ordres [Ji,

Hosted by