La première polaire de (y) a pour équation

y\{aix\ + lax^x^) -f-jK2(<^2^1 ^~ lax-^x^) -^- y^{ci-ixl -^ 'laxiX^) = o;

on voit que le réseau ainsi défini ne peut avoir d'élément singulier que si l'une des quantités ai est nulle, ou bien si l'on a «1 a2<^3 + 8a^ = 0. Mais ce dernier cas est à écarter, car alors/ se décompose en trois facteurs linéaires, ce que nous ne supposons pas.

La forme canonique trouvée ne correspond donc à une série à élément double que si l'une des quantités a/, a^ par exemple, est nulle. 0^ est alors l'élément double, et 0^ est l'axe inflexionnel; Ù2 et O3 sont les éléments tangents à / en Oi ; Oo et O3 sont les deux éléments qui déterminent avec les trois éléments inflexionnels de f sur 0, un rapport équianharmonique. Les polaires harmoniques contiennent O^ et, sur 0,, les éléments conjugués harmoniques de l'un des éléments inflexionnels par rapport aux deux antres. La réduction à la forme canonique ne peut se faire que d'une seule façon.