CHAPITRE XII. — LA SÉRIE CUBIQUE. 3x

tiennent à la cajleyenne y, et que les éléments tangents correspondants sont les [z)] que les {^f])-, correspondants des (t)) sur y, sont les éléments inflexionnels de y.

296. Enfin, remarquons que le réseau des premières polaires par rapport àyn'a aucun élément singulier si la série f n'est pas rationnelle. Si /* a un élément double ordinaire, le réseau considéré admet cet élément comme simplement singulier 5 si y a un élément cuspidal, le réseau admet cet élément comme doublement singulier. Les formules développées ultérieurement montrent sans peine dans quels cas particuliers on se trouve alors, comme aussi les cas de décomposition de A, quand la série y n'a aucun élément singulier.

IIo — Les éléments inflexionnels et la forme canonique.

297. Gherclions une forme canonique pour /, dans le cas où cette série n'a pas d'élément cuspidal.

Supposons d'abord que nous prenions pour éléments fondamentaux O2 et O3 deux éléments inflexionnels de /, et pour éléments O2 et O3 les éléments tangents correspondants. On aura alors

y = ai^f H- 3^2^3(2<r<^cri -H a23'^2+ <^32^3)'

Ceci nous montre que le troisième élément commun à y et à Ûj est aussi inflexionnel, l'élément tangent correspondant étant

o.axi-\- a^^x^-^- a^^^Xz= o.

Les neuf éléments inflexionnels sont donc alignés trois par trois sur douze éléments de seconde espèce, appelés axes inflexionnels^ et chacun d'eux contient quatre de ces axes.

Toutefois si y a un élément double, il n'y a que trois éléments inflexionnels, alignés sur un seul axe.

Les polaires harmoniques de O2 et O3 sont

lax^-^ la^^x^-^ a32^3 = o, laxi-^ (^23^2 + 2(^32^3 = o;

prenons-les pour nouveaux éléments fondamentaux ù'^ et Q^, ù\

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3l4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

coïncidant avec Oj . Ceci est possible, car ^03 et «30 sont certainement non nuls dans les hypothèses faites; f prend alors la forme

Mais si maintenant nous remarquons que x^ — x'.^x\^-\- x^ est précisément le hessien de la forme cubique binaire

on voit que si nous réduisons cette forme à la forme canonique, à l'aide d'un changement de variables fait sur x\^ et x[^ seulement, f prend finalement la forme suivante, où les accents ont été supprimés :

y = axx\ 4- a2^| -\- a-ix'l'^- GaxiXiX-^.

Telle est la forme canonique que nous emploierons presque exclusivement.