I, —0)2; ig:(o, o, i; I9 : I, —I, o

Les axes inflexionnels, rangés par suites triples, sont alors

(I1I4I7) : w^r^ + ce

{l2lQh) : x[-h (j^^cc'^-i- (jùx'.^=o; (I2I4I9).* X'

(I3I4I8) : i??i -f- W^Z-g -H C02^3 rr: o : (l-^L^l-;): Cr\ -}- M'^ X'^ ■

On remarquera que les axes inflexionnels correspondent aux

termes du déterminant

Il h h

et, en outre, aux produits obtenus en prenant trois termes dans une même ligne horizontale ou verticale. Les quatre suites de trois axes correspondent aux quatre groupes de trois termes obtenus par l'un de ces procédés, les termes du déterminant étant partagés en deux groupes, suivant leur signe.

Les Tableaux précédents conduisent à de nombreuses propositions qu'il est inutile d'énoncer explicitement : ils mettent en évidence en particulier les substitutions que l'on doit faire pour passer d'une forme canonique à une autre.

Un élément inflexionnel appartenant à 0^ a pour coordonnées o, — [/ci's^ '\J a^ ; sa polaire harmonique est donc

et contient Oi .

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3l6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Les polaires liarmoDiques, qui jouent par rapport à la cayleyenne le même rôle que les éléments inflexionnels par rapport à la hessienne, sont donc alignées trois par trois avec les éléments tels que O^; chacune d'elles contient quatre de ces douze éléments, analogues aux axes inflexionnels.

Si l'on considère les formes cubiques en 0^2 et œ^ par exemple, qui définissent, sur Q^, les éléments fondamentaux, les éléments inflexionnels, et enfin les polaires harmoniques des précédents, la première de ces formes est, à des facteurs près, le hessien de chacune des deux autres, et chacune de ces dernières peut être regardée comme l'invariant cubique de l'autre.

lïl. — Les invariants fondamentaux.

300. Nous allons maintenant calculer les invariants les plus intéressants du système formé par / et les variables (oc) et (^).

Huit de ces invariants sont indépendants.

Après la forme / elle-même que nous écrivons, sous la forme canonique,

nous avons d'abord la hessienne h et la cayleyenne y, déjà définies en général. Ici

A = — a'^^ccix] -\- a2^2 + ^^f-'à^l) ^{aia^^a^-^ ia^)xiX2Xz,

On voit, comme on devait s'y attendre d'après ce qui a été dit pkis haut, que les formes h et y sont elles-mêmes réduites à la forme canonique, etl'on vérifie que les éléments inflexionnels de h coïncident avec ceux de /; les polaires harmoniques de ces éléments sont les mêmes pour / et pour A, et sont les éléments inflexionnels de y.

Si / a un élément double en Oj, il en est de même de A, qui ne se décompose pas, et y se compose de O^ et d'une série quadratique d'équation

Si y n'a pas d'élément double, /z peut en avoir, d'après ce qu'on a dit plus haut, si a = o, ou si a^ ^2^3 — a^ = o ; dans chacun de

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