CHAPITRE XII. — LA SERIE CUBIQUE

sent. Trois couples d'éléments correspondants déterminent le réseau et par suite la jacobienne de ce réseau.

Si la série donnée a un élément double, elle est la jacobienne d'un seul réseau : il n'y a plus qu'un seul mode de correspondance évident sur la série.

313. Un théorème fondamental de la théorie des séries cubiques est le suivant : toutes les séries cubiques qui ont huit éléments communs en ont un neuvième; car si /^ et/2 sont deux séries contenant les huit éléments donnés, toutes celles qui les con~ tiennent sont de la forme \\f\ -(- "^^fi'

En appliquant ce théorème à une suite de six éléments inscrite à une série quadratique, on démontre immédiatement le théorème de Pascal : il suffît de considérer les deux séries cubiques formées par les éléments de seconde espèce de la suite pris de deux en deux, et celle formée par la série quadratique donnée et la série linéaire contenant deux des éléments déterminés par les éléments de seconde espèce de la suite, pris de trois en trois.

Voici d'autres applications. Si (.^), (^^), {oc") appartiennent kf et à (i); si (7), (/), {/) appartiennent à / et à ('/i); si {xy), {x'y')^ (œ'y"), ont encore en commun (^), (z')^ (z") avec/, ces trois derniers éléments sont alignés sur un même élément (Q : il suffit, pour le voir, d'envisager la série cubique /, celle formée par (xy), {^'y')) {oc" y") et celle formée par (^), ('/)) et {zz).

Si (9), (6^), (9'^) sont les éléments {xy), {x'y'), {x"y"), l'équation de /peut s'écrire

Ce théorème subsiste si (^) et (rj) sont confondus; alors {xy) devient l'élément tangent en (^), et {z) est dit tangentiel de {x)] si donc (^), {x')^ {x") sont alignés sur(^), leurs éléments tangentiels (^), {z')^ {z") sont alignés sur ((^), et (C) est dit tangentiel de a).

Si {x) et {x') sont inflexionnels, il faut que {x") le soit aussi; c'est une proposition connue.

314. {y) appartenant à /, cherchons son élément tangentiel {x). Supposons que / soit la hessienne d'une série f ^ et

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33o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

que (z) corresponde alors à (y) sur f] [x) apparlient à l'élément tangent à / en (^), qui, comme on sait, est la polaire linéaire de [y) par rapport à/^; mais /^ appartient au faisceau (/, /z); donc [x) est commun aux polaires linéaires de (y) par rapport àf et h] l'équation de (x) est le jacobien de f(y)^ ^^(jk) et (^ | j) égalé à zéro. Si (y) est quelconque, la même équation représente l'élément tangentiel de (y) dans la série du faisceau (/, h) qui contient (jk).

Cherchons maintenant l'élément tangentiel d'un élément donné (tj). Nous le trouverons en cherchant plus généralement le lieu de l'élément commun aux polaires linéaires de (y) par rapport à / et A, quand (y) appartient à ('r\). Cela revient à chercher l'équation des éléments communs aux deux séries quadratiques en (y)

ce qui donne

OU bien

4- CCi ^2 ^3 [ ^rO 1 ( <^2 <^3 '^ 1 2 «3 ai Tj I 2 ^1 ^2 '1 i ) "■"" • • • ] = O.

Donc l'équation de l'élément tangentiel de (y]) par rapport à /'est

6 a ( ai ^1 7] I rj -4- . . . ) + a^i t] i ( — a2 a^ r^ \-+- '2 as a-i r^ | -I- 2 ai a2 ï] | ) + • . . = o.

Si l'on forme, en appelant t le premier membre de cette équation, la fonction KU^^ y)^ on trouve, en remplaçant les (ri) par les(^),

le produit ^(A + Sa^) est donc un invariant.

315. Considérons une série quadratique variable g ayant en commun avec / quatre éléments Ai, A2, A3, A4, fixes, et deux autres B^ et B2 variables; Bi B2 a avec / un nouvel élément commua C qui est fixe, comme on le voit en considérant la série cubique / et celles qui sont formées par deux séries g et les éléments B^, B2 correspondants.

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