CHAPITRE Xll. — LA SERIE CUBIQUE
Si la série cjuadratique g touche /"en trois éléments A,^ Ao A3, les éléments tangentiels correspondants T|, To, T3 sont alignés, comme on le voit en considérant la série cubic|ae/', celle formée par les A/T/^ et celle formée par g et T, To.
Si clone on se donne A2 et A3, Y \ est déterminé, et A] est l'un des cjuatre éléments de contact des éléments tangents à /contenant T^ ; toutefois l'on de ces éléments est aligné avec Ao et A3, et ne donne pas de solution proprement dite : il j a donc trois systèmes de séries quadratiques triplement tangentes kf.
Ces trois systèmes sont, d'après le n° 304, les séries p{y^ s) relatives aux trois séries cubiques dont /est la hessienne.
Si la série cjuadratique g a un contact du second ordre avec/ en A, et A2, et si A, A2 a encore en commun avec / l'élément B, celui-ci est inflexionnel, comme on le voit en considérant la série cubicjue /, celle composée de AiAo trois fois, et celle composée de g et de l'élément tangent à /en B. Si donc on se donne A^, il lui correspond neuf positions différentes de Ao ; il y a neuf systèmes de séries quadraticjues doublement osculatrices à/.
Si A| et A2 se confondent, la série g di un contact du cinquième ordre avec/; il y a vingt-sept telles séries^ et les éléments de contact A, sont les éléments communs à/ et à ses neuf polaires harmoniques.
Les résultats cjue nous venons d'obtenir subissent des modifications évidentes, si la série/ a un élément multiple.
316. Le théorème fondamental qui nous a guidés dans les numéros précédents peut se généraliser. Nous savons en effet (160) c[ue, parmi les ip éléments communs à la série cubic[ue / et à une série de degré/), on peut en regarder un comme déterminé par les autres, de sorte que toutes les séries de degré /> qui contiennent Zp — I éléments fixes de /, en contiennent encore un autre qui est fixe.
En appliquant convenablement ce théorème, on verra, par exemple, que les six éléments tangentiels des éléments communs à /et à une série quadratique appartiennent eux-mêmes à une même série quadratique; que, par suite, si g est une conique triplement tangente à / en Aj, A2, A3 et si une série quadratique quelconque contenant A,, Ao, A3 a encore B^, B2, B3, communs
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avec /*, il existe une série quadratique triplement tangente à / en B|, B2, B3; etc.
317. On peut rattacher l'étude de la série cubique à celle de la forme bilinéaire à deux séries de variables binaires.
Si
g = aiiXi p-i-i- ai2Xip.2 4- ^21 )v2(Jt.i-i- a22>^^2 [^2
est la forme donnée, il suffit d'imaginer, par exemple, que les (\) définissent les séries quadratiques d'un faisceau
Xi A-i-Xg/r =0,
h et k étant deux formes quadratiques ternaires; et que les ([j.) définissent les éléments de seconde espèce d'un faisceau
(J.i(r] |^)-f- fa2(? I ^) = o.
En cherchant le lieu des éléments communs aux séries Çk) el(^)y. quand on suppose ^=0, on trouve une série cubique, la plus générale de son espèce. Ceci correspond à ce que nous avons dit au commencement du n^ 315.
Nous n'insisterons pas sur cette façon d'envisager une série cubique.
318. On peut encore rattacher l'étude de la série cubique à celle d'une forme doublement quadratique à deux séries de variables linéaires, g'()^; [ji) = o.
A cet effet, on considérera les deux faisceaux de séries linéaires
li{ri 1^7) 4-X2(Ç|^) = o, iXi(Q \ x) ^ iJ.2{y.\ x) = o,
et l'on cherchera le lieu de l'élément commun aux séries (a) et (p.)^ sous la condition g = o, en supposant que l'élément défini par (t^) et (9x) se corresponde à lui-même dans les deux faisceaux en vertu de g= o.
La série cubique ainsi obtenue contient (v]s) et (9x).
Inversement, prenons sur une série cubique / deux éléments fixes et un élément variable; les éléments définis par les deux éléments fixes et l'élément variable sont liés manifestement par une relation doublement quadratique.
Supposons que les éléments fondamentaux O2 et O3 soient les
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