CHAPITRE XII. — L.\ SÉRIE CUBIQUE. SSg
Si ([;.) et (v) coïncident, on a Ax|j.2== o. Les éléments ([^.) et (u^), définis par cette équation du second degré en ([j.), sont alors correspondants sur/, puisque les éléments tangents en (p») et (v) ont en commun l'élément ().); les éléments correspondants sur /' forment donc une involution définie par A)jj2=o; les éléments doubles de cette involution sont ceux qui sont confondus en l'élément double àe f.
On vérifiera sans peine avec les formules précédentes les propositions plus générales énoncées au paragraphe précédent. Ainsi deux éléments (1) et (|jl) seront correspondants pour le nombre n, si l'on a
'in ,,n ') a ,,n ^^ •
cette formule simple est d'un usage fort commode et permet d'énoncer de nouvelles propriétés.
Si / a un élément cuspidal, il n'y a plus d'éléments correspondants pour le nombre n.
En général, Zp éléments (X), ([j.), (v), ... appartiendront, dans le cas où /a un élément double ordinaire, à une même série de degré /j, si l'on a
Al p-i Vi . . . -t- (— l)/^-l X2 [Xi V2 . . . — - o.
Trois éléments (a), ([x), (v) seront les éléments de contact d'une série cjuadratique triplement tangente à/', si l'on a
ou, ôtant la solution c[ui correspond aune séiie linéaire double,
\l [J.| Vi ^2 1-^-2 '''2 = O-
Si/ a un élément cuspidal, ?>p de ses éléments appartiendront à une même série de degré />, si l'on a
EX2M-1V1 . . . = o ;
on voit qu'il n'existe pas de série quadratique proprement dite triplement tangente à /
On peut encore chercher à construire des suites à la fois inscrites et circonscrites à/, ce qui est possible quand /n'a pas d'élément cuspidalj; et ainsi de suite.
32o. On peut encore rattacher l'étude de la série cubique
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rationnelle à celle de la forme linéoqaadratique à deux séries de variables binaires; et cela de deux façons différentes.
Si ^'()>, [^-) est la forme donnée, et si l'on cherche le lieu de l'élément commun aux deux séries linéaires
SOUS la condition ^' = o, on obtient une série cubique /*, admettant (rX) comme élément double, et contenant (Ox), si g est du second degré par rap}Dort aux ()^). On voit que les couples d'éléments de /qui appartiennent aux différents éléments ([i-) forment une involution, dont les éléments doubles sont les éléments de contact des éléments tangents à/ contenant (9x). L'élément ('f\^) sera cuspidal pour/, si la série linéaire définie par (r/Q et (9x) correspond à l'un des éléments doubles de l'involution signalée ci- de s su s.
Nous pouvons maintenant regarder (X) et ([j.) comme définissant deux éléments d'une série quadratique F, et chercher le lieu de l'éléuient commun aux éléments tangents à F correspondants, sous la condition g=:o. On obtient une série cubique / trois fois tangente à F, et rationnelle. Les éléments de contact de /et F sont déterminés pour ^(X, X) = o; l'élément double se trouvera en résolvant les équations gQ^, [^-) = o, ^'(;^, X) = o, et supprimant les solutions précédentes; les éléments tangents communs à F et / autres que ceux déjà conuLis, sont déterminés par les équations
Les éléments communs à / et à un élément (^) tangent à F se partagent en deux groupes; ceux qui sont accouplés déterminent une involution, dont les éléments doubles sont les éléments de contact des éléments tangents communs à /et F.
Si l'élément double appartient à F, il devient cuspidal. On verra encore sans peine que, réciproquement, toute involution sur/ correspond à une des deux représentations que nous venons de signaler. La série linéaire définie par un couple de l'involution contient un élément fixe de /, ou touche une série quadratiqLie fixe triplement tangente à/
On engendrera encore une série cubique rationnelle en établis-
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