CHAPITRE XIIJ

LA FORME TRILINÉAIRE

326. Considérons une forme / linéaire à la fois par rapport à des variables (^), (y), (z) : ces variables définissent elles-mêmes des éléments qui remplissent trois espaces X, Y, Z; ces éléments peuvent être supposés de l'une ou de l'autre espèce; ces espaces peuvent être supposés distincts ou coïncidants, en tout ou en partie.

L'étude générale d'une telle forme comprend, en particulier , celle d'un réseau d'homographies ou de réciprocités entre des espaces coïncidants ou non, celle d'un réseau de séries quadratiques et celle d'une série cubique. Nous allons donner quelques indications sur cette étude, qui, développée complètement, prendrait une trop grande extension.

Nous supposerons d'abord que les espaces X, Y, Z sont distincts : dans ce cas, les (^), (y)-, {z) peuvent être supposés de première espèce, sans diminuer la généralité, et les (^), (ri), ÇÇ) désigneront les éléments de seconde espèce des mêmes espaces X, Y, Z.

La forme /== ^ctijkOCiyjZj^ dépend de vingt-sept coefficients, et par suite possédera trois invariants multiples proprement dits distincts, au moins : un calcul simple montre qu'il n'y en a pas davantage. Ceci admis, nous prendrons immédiatement y sous la forme canonique suivante, possible en général, puisqu'elle nous fournira trois invariants proprement dits distincts :

+ *^l^ir2-^3H- <^2^2r3^1-^ b'^X:iy^Z.2 4- Ci^ij3^2-+- C2^2ri^3+ C-^Xzy.2Z^.

Nous désignerons respectivement par /, m, n les trois lignes du

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