CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILINÉAIRE
second membre de cette formule, et nous ferons de même
X = a2^3^1^1?l-l- ^3^^1?2'02Ï2+ «1^2?3'03Ç3, p. r= b^b^^iT^v^tz-^ ^3^lÎ2'^,3Çl-i- ^1 ^2 ^3 '-Q 1 ^2 , V= ^203^17^3^2+ 03^'l^2'iQlÇ3-l- CiCa^s'O^?!-
Nous ferons aussi
327. La forme / fait correspondre à un élément (^) de X, par exemple, une réciprocité entre les espaces Y et Z, d'équation/=: o ; à l'ensemble des éléments de X correspond ainsi un réseau de réciprocités entre Y et Z. Cherchons le lieu des éléments (x), tels que la réciprocité correspondante soit singulière : on a pour définir ces éléments et, en même temps, les éléments singuliers correspondants {y) et [z) dans Y et Z, les deux systèmes d'équations
«i^iJKi-i- ^3:^3X2-1- ^2^273= O, b^x^fi^ a^x^^y^-^ cix^yz— o,
^2^271-1- ^l^ljK2+<^3^373= o,
aiXiZi-i- b^X^Z2-h C2^2^3= Oj 03X3^1+ «2^2-^2+ biX[Zs= O,
b^^x^Zi -h CiXiZ^^ H- «s.-Ts^s == o.
Le lieu des (^) est donc la série cubique
— aibiC\x\ — a2^2C2^i — <^3^3<^3^3 -+- sx^x^x^; celui des (y) est de même
= —aib^ c.yl — ^2 bi Csyl — a^ b^ c^yl -f- sy, y.y^ ;
c-sx-^
C^Xi
aijKi
b^yz
biy-i
C2JK1
et cekii des (z)
Zi
— — aib^c^zl — a2b-^Cizl — a^bic^zl-h 5,21^2 ^3»
On voit tout de suite que, de même, g2 est le lieu des (y) tels que la réciprocité correspondante entre X et Z soit singulière, et que
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gi et gs sont les lieux des éléments singuliers de cette réciprocité dans X et Z; ....
A un élément (ç) de X, considéré comme lieu cUéléments (^), correspond un faisceau de réciprocités entre Y et Z; les éléments singuliers de ce faisceau correspondent aux éléments communs à g^ et (i); deux d'entre eux sont confondus si (Ç) touche/; ils sont confondus tous trois si (^) est élément tangent stationnaire pour/.
Si l'on considère le réseau de réciprocités entre Y et Z défini par/ on peut dire que g2 et g^ sont les lieux des éléments singuliers des réciprocités singulières de ce réseau; on peut dire aussi que g2, par exemple, est le lieu des éléments (y) tels que les éléments (i) correspondants dans Z en vertu de toutes les réciprocités du réseau aient en commun un même élément (^) dont le lieu est g^] la relation entre (y) et (^) est d'ailleurs fournie par les équations
«ljl-^l+ -^172^3-^ Cij3-2== O, <^27l^3+ ^hr^^i-^ ^273^1 = o, 6371 ^2 ■+■ C3r2-l+«3j3 53= O.
Les séries g2 et ^'3 sont ainsi définies indépendamment de Fespace X. Comme d'ailleurs ce sont des séries cubiques générales, on a, de cette façon, une génération intéressante de la série cubique.
