CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILÏNÉAIRE
h. Les réseaux F et <ï> admettent chacun un élément simplement singulier.
On peut alors employer la forme canonique suivante pour/*:
Il vient
§■1 = ^1^271(^37173— ^3/1), T2 = ^1^^2''Q3(2C3rJ — 63'r)3T^i),
^•1 ==— (^3ci^i-f-ai^|^|^i), g-[ = 'àa\b\b^clœlx-^,
k = o, il = o.
^'2 et y!, se décomposent en une série quadratique et une série linéaire; gi a un élément cuspidal; etc.
i. Le réseau F admet un élément doublement singulier et le réseau <ï> deux éléments simplement singuliers.
On peut employer la forme canonique
^1^1(73^1+71-^3) + Ci:ri(jKi^2+72^l) + <^2^'2X2^2-+- ^^3^373^3;
on a alors
S'2 = «2^37273(^172+ ^173), ê'2 = Oj
T2 = — «2«3'0i (^r^i2+ cr/i3),
/c =: O, il ■= O.
y. Le réseau F admet deux éléments simplement singuliers, et le réseau ^ un élément doublement singulier. On peut prendre pour/
alors
^•; = - ia\b\biC-iœ\,
k = o, il = o.
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k. Le réseau F admet un élément doublement singulier; le réseau <ï> admet un élément simplement singulier et un élément doublement singulier.
La forme canonique du cas (Ji) convient avec ^3= o, ou bien celle du cas (f) avec Z?^ := o ou c, =: o.
Les particularités sont faciles à énoncer.
/. Le réseau F admet un élément simplement singulier et un élément doublement singulier; le réseau ^ admet un élément doublement singulier.
La forme canonique du cas (A) convient avec 63 = 0, ou bien celle du cas (y) avec Z?3= o ou ^3=: o.
m. Les réseaux F et <ï> admettent chacun un élément triplement singulier.
La forme canonique générale convient à nouveau avec les hypothèses a, =: 60 = o, par exemple.
On a
7 2 =^ ci.ia.h^T;\^ 8\ ^ — cizh\x\;
les autres invariants sont nuls.
n. Le réseau <ï> admet un élément quadruplement singulier. On peut conserver les formules du cas précédent, avec «3=: o. 0. Le réseau F admet un élément quadruplement singulier. On peut conserver les formules du cas (/?î), avec ^3^= o-
334. Si les espaces X, Y, Z coïncident, on aura encore de nouveaux invariants, obtenus en considérant les trois séries cubiques ^ t , ^'2? ^"3 i^oi^ réduites en même temps à la forme canonique en général. Si les éléments (^), (j^), (^) sont de même nature, il j aura lieu d'envisager la série cubiqueyo obtenue en faisant, dans/, les (y) et les (4) égaux aux (.r).
En particulier, on peut supposer la forme / symétrique par rapport aux (.-r), (jk) et (^).
La forme canonique générale est alors applicable, sauf exception, avec ^, =: Z?2= ^3= C{ := ^2= C3 ; si h est la valeur commune de ces quantités
y^rrr aix\-\- a^ix\-^ ct^x\ + 6 6 ^1^2 -^3 ',
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