CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILINÉAIRE
Nous remarquerons la combinaison
o '( = 8 f' 1 cp — /f cp ; = ( a — p ) 2 ( a + 8 Î3 ) 2 [ 2 |3 X — a ( p. -h V ) ] .
Au réseau de réciprocités invoiutives défini par AiZ+Xs/^? correspond un réseau conjugué de réciprocités invoiutives aussi, de la forme [x^ o -f- [^.2^1 5 avec la condition
1 1 (j-i k -i- 8 Xi [JL2 f'i + 1 6 X2 |J.i il — 2 12 (J.2 j'i /t ~ o.
En particulier, au réseau /" correspond le réseau cp'J.
La même équation convient pour définir le réseau conjugué du réseau de séries quadratiques obtenu en faisant les (y) égaux aux (.:•).
Les séries g^ et go sont chacune la hessienne de trois autres séries cubiques; ici ces séries se séparent en deux groupes, dont l'un est composé des séries g\ et g[,^
g[ — — ^ ^1 -1- an/ij — (oc — ^f[aibiCixl -t- a.^b^c^o^'i
-f- a^b^^C'^xl -1- 6(^XiX.2X;i],
^i = — 4 -"'-^ + ^'7 '^^^ "=" (a — 3)2 [ «t b-s c^rl -H «9 ^1 C;5 /:^
-+- ^^3 b. CijI + 6 B /l/o r3 ],
/^^ et h^ étant les hessiennes de g,, et go- La cajlejenne de g\ est ^'i y', ; avec
T'l=(^^-??[«2^3^2^3^2C3eî+...-f-Q(a-4P)?I^2^3];
celle de gj, ^^t z^'jy!,, avec
Y'2 = a2a3 6rOi-i- a3aiZ^2Tj|+ aia2^3'03 + ('^' — 4 !^)'0r^i2'03;
cette dernière série est la cajleyenne du réseau de séries quadradratiques défini par /*, quand les (^) sont égaux aux (jk) ; ces formes y', et y^ correspondent d'ailleurs à o'[ comme g\ et go à /"^ , à des facteurs près.
La condition pour que le réseau F de séries quadratiques défini par f\ ait un élément singulier est k^ -\- 64 ^i = o; celle pour que le réseau conjugué <ï> ait un élément singulier, ou encore que le réseau F lui-même contienne un élément double, est i\ ■:=. o; on obtient ces résultats en faisant un calcul déjà indiqué.
333. Examinons les différentes particularités qui se présentent
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et les différentes formes canoniques que J'on peut attribuer à la forme /^ lorsque cette forme correspond aux différentes espèces possibles de réseaux quadratiques proprement dits.
a. Cas général, — Tout ce qui précède s'applique entièrement.
h. Le réseau $ contient un élément simplement singulier.
La forme canonique générale s'applique avec 6, == opar exemple, et^ par suite, [^ = o.
On a
g2 se compose dey^ = o et d'une série quadratique; g'[^ est X\ = o trois fois; y!, a un élément double; g^ a un élément double et g'^ se compose de trois éléments alignés.
c. Le réseau <ï> contient deux éléments simplement singuliers. La forme canonique subsiste avec Z'2= ^3 = o, par exemple. go se compose de trois éléments non alignés; g[^ disparaît; y!, se
compose d'une série quadratique et de 7if = o ; gi est formée d'une série quadratique et de X\ =: o, et g\ se compose d'un élément triple .
d. Le réseau <ï> contient trois éléments simplement singuliers. La forme canonique subsiste avec 6, r= ^0= ^3= o.
g2 se compose de trois éléments non alignés, ainsi que y!, et g^; g\ et g[, disparaissent.
e. Le réseau F contient un élément simplement singulier. La forme canonique subsiste avec «1 = 0.
On a
Les séries g^^ g'^-) §'{•> g'\ 0"t chacune un élément double; y^ se compose d'une série quadratique et de v], = o.
/. Le réseau F contient deux éléments simplement singuliers.
La forme canonique subsiste avec a^ = <r^3== o.
Les séries ^'2? ^'2? ^^? ê'\ ^^ décomposent chacune en une série quadratique et une série linéaire; y^ se décompose en trois séries linéaires.
g. Le réseau F contient trois éléments simplement singuliers.
On a de plus qu'au cas précédent a^ = o.
Les séries g2i g^-, §'{•> g\ se décomposent chacune en trois séries linéaires; il en est de même de y'o.
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