I. — Les invariants de la série quartique
336. P^oiis donnerons quelques indications seulement sur la théorie des invariants des séries quarliqnes.
Soit / la forme qui définit une telle série, renfermant quinze coefficients. Les principaux invariants que l'on peut former sont les suivants : si dans / on fait ^i= )MjKi-{- ^2^/, on obtient une forme biquadratique en (1), dont les invariants i ety s'expriment à l'aide des quantités \i ou {y^)i\ i's sont respectivement des degrés 4 et 6 par rapport aux (ç), 2 et 3 par rapport aux coefficients (a) de /' : leur signification géométrique est évidente. La forme équivalente /' est i^ ■ — 27/^; les séries i et y contiennent les 24 éléments tangents stationnaires de /, et ne contiennent aucun autre élément tangent de/.
Un autre invariant évident est le hessien h de /', des degrés 6 et 3 par rapport aux (^) et aux (a).
Deux invariants proprement dits, des degrés 3- et 6 par rapport aux (a), sontK''(/, /), K.^(A,y); une fonction de ces invariants est le déterminant des coefficients des variables dans les six dérivées partielles du second ordre de/.
Ce déterminant est nul, s'il existe une relation linéaire entre ces dérivées partielles; or, c'est ce qui arrive évidemment si /"est sous la forme d'une somme de cinq quatrièmes puissances de fonctions linéaires. On ne peut donc, en général, mettre / sous cette forme, bien qu'elle contienne aussi c[uinze coefficients.
On voit, de même, que les mineurs du premier ordre ou du second ordre de ce déterminant sont tous nuls, si /peut se réduire à une somme de quatre ou trois quatrièmes puissances.
On obtient deux invariants quadratiques en {^x^ et (^), des
degrés 5 et 4 P^^' rapport aux (a); par les opérations K^*(A, /), K'*(/, j)'^ si on les désigne par / et m^ K.'(^? ^0 ^^ ^''{fy '^^") donnent deux invariants du degré 9 par rapport aux (a); et ainsi de suite.
On remarquera encore l'invariant analogue à f, obtenu en calculant l'invariant i de la série cubique qui est la première polaire de {x) ; on peut alors, par la considération du faisceau formé par/* et cet invariant, engendrer de nouveaux invariants.
II. — La série quartique comme enveloppe de séries quadratiques.
337. Nous allons maintenant envisager la série quartique comme correspondant à une série quadratique, dans le mode de correspondance défini à la fin du Chapitre précédent.
Soit un réseau F de séries quadratiques, d'équations
.ri/i ■+•72/2 -4-73/3 = o,
les// étant des formes quadratiques quelconques en (^); nous supposons d'ailleurs ce réseau proprement dit, c'est-à-dire que les formes// sont linéairement distinctes. Nous appellerons/ et y les séries jacobienne et caylejenne de ce réseau; nous appellerons aussi k la série cubique, lieu des éléments (y) dans l'espace auxiliaire Y, tels que la série F correspondante se décompose; enfin / sera la série cubique de l'espace Y dont k est la hessienne, et qui se distingue des deux autres, inséparables, jouissant de la même propriété. Rien n'empêche d'ailleurs de supposer les espaces X et Y coïncidants et rapportés aux mêmes coordonnées; et si le réseau F peut être regardé comme le réseau des polaires quadratiques d'une série cubique g^ on pourra supposer que la série F qui correspond à (y) est précisément la polaire quadratique de (y) par rapport à (g) : alors les séries / et k coïncident, et g remplace l. On peut ainsi énoncer, d'une façon plus caractéristique, les propositions que nous allons rencontrer, et les rattacher à la théorie d'une série cubique simplement. Mais nous ne ferons pas cette transposition facile, laissant aux théorèmes toute leur généralité.
