CHAPITRE XIV. — L-\ SERIE QUARTIQUE
quadratique F; si (y) appartient à /r, cette série F se décompose en deux éléments dont le lieu est y, l'élément singulier de F appartenant alors à /.
A un élément (r^) de Y correspond un groupe de quatre éléments (x) associés déterminant un faisceau de séries F; les séries singulières de ce faisceau, déterminées par ces quatre éléments d'une façon évidente, correspondent aux éléments communs à (ç) et k. Ce faisceau est composé de séries tangentes si (l) touche k. En un mot, toutes les propriétés des réseaux s'appliquent sans qu'il soit nécessaire de les répéter.
Considérons maintenant une série quadratique q d'équation
q = ^iiJi-H a^^yl^ «337I+ 2a23jK2.jK3-+- '-i«3i:K37i-^2ai2yijK2 = o,
de l'espace Y. Les séries F qui correspondent aux différents éléments (y) de q ont une enveloppe dont l'équation est évidemment
/== ^-ii/i ^- '^22/1 -t- «33/1 -^- '^'^23/2/3+ 2^31/3/1 + 2 ai2/i/2 == o,
les oLij étant les coefficients de la forme tangentielle '^ de q. La série / est une série quartique, que nous allons étudier comme engendrée de cette façon. Il est clair, d'ailleurs, que cette forme convient à toute série quartique, les coefficients aij et le réseau F étant convenablement choisis.
Si la série q est décomposable, la série / est la série quadratique qui correspond à l'élément singulier de q^ comptée deux fois.
La série /est aussi le lieu des éléments associés qui correspondent aux différents éléments tangents à la série q : des éléments associés forment d'ailleurs un groupe d'éléments de contact avec/ pour une série F quadruplement tangente à/
On voit par là que si l'on établit entre les éléments (x) la correspondance qui fait correspondre à un tel élément l'un de ses associés en vertu du réseau F, la série / se transformera ellemême, les séries quadratiques du réseau F qui lui sont quadruplement tangentes ne changeant pas.
Si l'on prend q sous la forme simple
on aura
Hosted by
358 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAlRi:.
On peut d'ailleurs, dans ce cas, poser
et /est l'enveloppe des séries
Xf/24- 2X1X2/1-1- Xl/3= o;
on voit donc que l'on peut encore faire correspondre l'étude de la série f à celle de la forme doublement quadratique à variables binaires et ternaires.
Si l'on prend q sous la forme
de sorte que les séries F, qui correspondent aux éléments fondamentaux de Y, soient quadrupîement tangentes à/", on aura
-i- 26^31^12/2/3 + 2^12^23/3 /i-- '-i ^23 ^31/1/2; cette forme particulière nous sera utile plus tard.
339. Soient (7) un élément de Y, ('/]') et (t/^) les éléments tangents à q contenant (y)] {y') et {y") leurs éléments de contact.
La série F qui correspond à (7) contient évidemment les deux groupes d'éléments de contact avec / des séries quadrupîement tangentes à / qui correspondent à {y') et {y") : ainsi les huit éléments communs à /' et à une série F se décomposent en deux groupes d'éléments de contact pour des séries quadrupîement tangentes à/"; les éléments de contact de deux séries F^ et F'^ quadrupîement tangentes à /appartiennent à une même série quadratique F; et si (y), (7'), (y) correspondent respectivement à F, F^, F'^, (7) est le pôle de {y' y) par rapport à ^ ; la série F peut donc être à'ilQ pôle par rapport à /du faisceau (F^, F^^).
Si les équations de F^ et F'^ sont
Xf/2 -^ 2X1 X2/1 -h XI/3 = o, [J-f / -T- 2 [Xi p.2/1 -4- [J.I/3 = o,
celle de F sera
Xl ;Ul/2 -{- ( Xl \M -f- X2 [^1 )/l -+- X2 (^2/3 = O.
Les séries q et k admettent en général douze éléments tangents communs; aux éléments de contact avec q de ces douze éléments
Hosted by
