I. — Les Polaires

40. Une polaire quelconque d'ane forme d'un système S ou d'un invariant de ce système, prise par rapport à des variables remplacées par des variables de même espèce, ou par rapport à des coefficients remplacés par ceux d'une forme semblable appartenant au système, est encore un invariant de ce système.

Ceci résulte de la définition même des polaires; si en effet F est un invariant du système, contenant par exemple les variables (^) ou les coefficients d'une forme/ du système, et si l'on y remplace les ^/par les Xi-\-Xyi^ ou les coefficients de/'par ceux dey^ ).^', g étant une forme du système semblable à /, la fonction F ne cessera évidemment pas d'être un invariant, et cela, quelle que soit l'arbitraire ).. Tous les coefficients du développement de F suivant les puissances de X jouiront donc de la même propriété, ce qui démontre le théorème, au moins quand il s'agit de polaires simples : il s'étend immédiatement aux polaires multiples.

Il est évident d'ailleurs que les polaires d'un invariant F d'ordre p. sont elles-mêmes des invariants d'ordre [x.

En combinant ce théorème avec celui du n° 32, on voit que les invariants des polaires des formes ou des invariants d'un système sont eux-mêmes des invariants de ce système; on voit aussi que l'on peut prendre la polaire d'un invariant par rapport aux coefficients d'une forme/*, remplacés par ceux d'une forme g semblable, qui est elle-même un invariant du système, et obtenir encore un invariant du système; mais, dans ce dernier cas, l'ordre de l'invariant ne se conserve pas.

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II. — Les invariants comme combinaisons de systèmes invariants.

41. Soit un système invariant composé de n fonctions F|, Fo, . . . , F/i, vérifiant les relations

OÙ F^ désigne la même fonction des éléments transformés (e^) que F;^ des éléments primitifs (e), et où les a.u ne dépendent que des coefficients (a) de la substitution.

Un second système invariant, composé de n fonctions Gi , G2, . . . , G/^5 est de même espèce que le premier si Ton a, ^ étant un nombre quelconque,

Ga-= o!J'Ea/,/G7;

un système invariant, composé de n fonctions ^^ <ï>2, . . ., ^n^ est dit, au contraire, cV espèce opposée au premier, si Ton a,

Ml étant quelconque,

8H'4>/, = Sa//,*'/.

Si deux systèmes invariants sont tous deux de même espèce, ou tous deux d'espèce opposée par rapport à un troisième, ils sont eux-mêmes de même espèce; ils sont, au contraire, d'espèce opposée si l'un est de même espèce, Fautre d'espèce opposée par rapport à un troisième.

Si n systèmes invariants de n fonctions, tels que le système (F), sont de même espèce, le déterminant des ri^ fonctions de ce système est évidemment un invariant, puisque le déterminant des F^ est égal à celui des F multiplié par celui des a/^/, à une puissance de S près; ceci montre, en particulier, que le déterminant des a/./ est toujours une puissance de S.

Si (F) et (<î>) sont deux systèmes invariants d'espèce opposée, il est clair aussi que la fonction I]F/^<ï>/t est un invariant. Réciproquement, si l'on met un invariant sous la forme SF/^^/f, les F et les <ï> dépendant d'éléments différents, et si les F sont linéairement indépendants, ainsi que les <ï>, les F et les $ forment deux systèmes invariants, nécessairement d'espèce opposée. En effet, la relation SF'^$^. =:: Sf^SFy^<ï>/f, où [a est l'ordre de l'invariant considéré, fournit, quand on y remplace les ^\ par leurs valeurs en

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