CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES

fonction des (1) et des éléments primitifs dont dépendent les fl>, des relations linéaires entre les F et les F', résolubles nécessairement par rapport aux F ou aux F'^ d'après les hypothèses faites; on raisonnerait de même pour les <ï>.

Si un invariant est mis sous la forme SF^^yt? les F et les <î> formant deux systèmes invariants d'espèce opposée, et si l'on y remplace les F^ par les fonctions G^ d'un système invariant de même espèce, on obtiendra un nouvel invariant; et réciproquement, si deux invariants sont mis sous la forme SF/f<ï>yt, SG^^/^, les (F), les (G) et les (<ï>) formant des systèmes invariants, le système invariant (G) sera de même espèce que le système (F) et d'espèce opposée à (^).

Il est évident encore qu'un combinant des formes d'un système invariant est un invariant.

La théorie des variables d'ordre n permettrait d'énoncer beaucoup d'autres propositions analogues à celles qui précèdent.

42. Les produits x'J'^^S ^^^ ^^\ ^^ ^^2 sont deux entiers non négatifs de somme h, forment un système invariant particulièrement important que nous appellerons (^).

Puisque (^, x^ - h ^2 ^'2)^ est un invariant, les quantités ^ ^\' ^'^^ forment elles-mêmes un système invariant (t), d'espèce opposée

Ht)-

(Sj'l2— ^2'f^\\Y ^^^ anssi un invariant; donc les quantités

forment un système invariant de même espèce que (^). Ceci montre, en particulier, que deux formes équivalentes sont invariantes l'une par rapport à l'autre, ce qui était d'ailleurs évident, d'après leur définition.

Si F est un invariant fonction des (^), la puissance A^^"^'^ de sa

première polaire, soit, a un lacteur près, f jk, HJK2 -)— ) ' est

un invariant; donc les produits p — p- ( - — ) ( y— ) lorment un

système invariant de même espèce que (t).

De même, la polaire d'ordre h de F, soit, à un facteur près,

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dx-.

riant; donc les quantités

OU la puissance est symbolique, est un inva-

forment encore un système

P/^.P/^2 àx^'^dx'l^invariant de même espèce que (t).

Si <ï> était un invariant fonction des (^), on verrait de même

que les quantités ( y- ) ( i^ ) ^ ^"^^ part, — ^r — j a autre part,

forment des systèmes invariants de même espèce que (^).

Les coefficients a;^ /^^ d'une forme cp = a^/i forment un système invariant de même espèce que (^). Si donc F est un invariant qui

dépend des (a), les dérivées -j^ formeront un système invariant

de même espèce que (t).

On peut multiplier facilement ces applications : il est inutile d'y insister davantage. On remarquera seulement l'extension immédiate de ce qui précède au cas où l'on considère plusieurs systèmes de variables.