III. — Les séries quartiques à éléments singuliers

343. Nous allons maintenant énumérer les diverses espèces de séries quartiques, et nous rechercberons de quelles façons on peut les considérer comme des enveloppes de séries quadratiques.

La série quartique générale, sans éléments singuliers^ sera désignée par (A). Elle peut présenter les particularités suivantes : 1° admettre un ou plusieurs éléments tangents ayant avec /* quatre éléments communs confondus; un tel élément tangent compte pour un élément tangent double, et pour deux éléments tangents stationnaires ; 2^ admettre une ou plusieurs séries quadratiques quadruplement tangentes, dont les éléments de contact sont confondus deux à deux; ou dont trois éléments de contact sont confondus; ou dont les quatre éléments de contact sont confondus.

Les réseaux F qui correspondent à une série quartique générale sont de l'une des espèces (a), (Z>), (c) ou [cl) du n° 333, puisque sans cela /aurait un élément double.

D'une façon générale, si l'on considère l'un de ces réseaux, on notera les particularités suivantes : les séries q et k délînies pré-

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cédemiîieDt ont leurs six éléments communs distincts, la série q étant indécomposable; si un élément (j/), commun aux séries q et /f, est tel que l'élément tangent à ^ en ( )^) soit aussi tangent à k en un élément autre que (j)')j à (y) correspond un couple d'éléments bitangentSj l'un de ces éléments ayant ses deux éléments de contact confondus; si l'élément tangent à ^ en (y) contient un élément double de /f, à (j^) correspond un couple d'éléments bitangents, tous deux à contacts confondus.

Si la série q touche en {y) un élément tangent stationnaire de /v , à (jk) correspond une série quadratique quadruplement tangente à y, avec trois éléments de contact confondus*, si la série q touche en (jk) i^^n élément contenant un élément double de h^ à (j)^) correspond une série quadratique quadruplement tangente à y, aux éléments de contact confondus deux à deux; si la série q touche en (jk) un élément tangent à k en un élément double de /r, à (jk) correspond une série quadratique quadruplement tangente à /*, aux quatre éléments de contact confondus.

On peut ajouter que si un élément (jk) commun k q el k est inflexionnel pour /r, à [y) correspond un couple d'éléments bitangents à /, l'un de ces éléments étant inflexionnel pour y, l'autre tangent à j et appartenant à y, de telle sorte que son élément de contact avec y soit tangent à y.

344. Considérons maintenant une série quartique (B), douée d'un élément double ordinaire. Elle sera de la dixième classe et possédera dix-liuit éléments inflexionnels, dont deux au plus pourront coïncider avec l'élément double. Par cet élément double on pourra mener six éléments tangents à y, avec éléments de contact différents de l'élément double; ces six éléments, comptés deux fois, peuvent être considérés comme éléments bitangents singuliers à /*; il y a seize éléments bitangents à / d\ine façon proprement dite. Les mêmes particularités que dans le cas général peuvent se présenter.

Si l'on veut appliquer à ce cas le Tableau général des systèmes de couples d'éléments bitangents, on voit tout de suite que, pour ne pas obtenir d'absurdités, il faut supposer par exemple que a et a^ coïncident avec un élément bi tangent singulier, et qu'il en est de même de ^ et [î^, y et y^, S et S^, s et s', Ç et t^^ Le premier

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