CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE

groupe du Tableau ne fournit alors aucun système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /; les trente groupes suivants fournissent trente systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à /', chacun d'eux contenant un couple double formé avec des éléments bitangents singuliers différents, et quatre cou(3les d'éléments bitangents proprement dits; enfin, les trentedeux derniers groupes se réduisent à seize, et chacun de leurs couples est composé d'un élément bitangent singulier et d'un élément bitangent proprement dit; ils correspondent à seize systèmes de séries quadratiques contenant l'élément double de /' et triplement tangentes k f.

Aux trente systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à y correspondent des réseaux qui sont, comme dans le cas précédent, des espèces (a), (6), (c) ou {d). Mais la série quadratique q qui correspond à f est ici tangente à la série k : deux des éléments communs k k el k q sont confondus, et pas davantage; si d'ailleurs k possède un élément singulier, la série q ne peut contenir cet élément. Si q touche k en un élément inflexionnel, l'un des éléments inllexionnels de /' coïncide avec l'élément double^ si q touche une série linéaire appartenant à k, dans les cas (c) ou («:/), deux des éléments inflexionnels de /coïncident avec l'élément double. Les autres particularités du cas général continuent à s'appliquer.

Aux seize systèmes de séries triplement tangentes à / correspondent des réseaux qui ont un élément simplement singulier, c'est-à-dire des espèces (e) ou (h).

Les éléments communs aux séries k et q sont tous distincts^ les observations déjà faites se transportent aisément à ce cas; de plus, on voit que si un élément tangent à q en (y) commun à k et q contient l'élément double de k, un élément inflexionnel de f coïncide avec l'élément double.

345. Si la série quartique / a un élément cuspidal, nous la désignerons par (C); elle est de la neuvième classe et possède seize éléments inflexionnels. Elle admet six éléments bitangents singuliers, c'est-à-dire contenant l'élément cuspidal, et chacun d'eux compte trois fois; il reste dix éléments bitangents proprement dits.

On peut appliquer le Tableau général en supposant que a, aJ et 7) coïncident avec un élément bitangent singulier, et qu'il en est de même de [3, ^' et '/\^; y, y' et u; S, S^ et v' ; s, z' et '^ \ Ç, t,' et iz' . Par suite, on obtient d'abord quinze sj'stèmes de séries quadruplement tangentes à/", comptant chacun deux fois; chacun de ces systèmes contient un couple triple d'éléments bitangents singuliers et trois couples d'éléments bitangents proprement dits; le réseau correspondant est des espèces (a), (6) ou (c), mais trois des éléments communs aux séries k et q sont confondus, et pas davantage; ^ ne peut d'ailleurs contenir aucun élément double de A".

On obtient ensuite quinze systèmes de séries triplement tangentes à y et contenant l'élément cuspidal, comptant chacun deux fois. Chacun de ces systèmes contient un couple double, formé de deux éléments bitangents singuliers, et quatre couples, formés par les quatre autres éléments bitangents singuliers associés à quatre éléments bitangents ordinaires. Le réseau correspondant à un de ces systèmes est de l'espèce [e)] la série cj contient l'élément double de k] ses quatre autres éléments communs avec k sont distincts.

Enfin, trois systèmes disparaissent.

346. Désignons par (D) une série quartique f k deux éléments doubles ordinaires; elle est de la huitième classe et possède douze éléments indexionnels. Elle admet deux systèmes de quatre éléments bitangents singuliers, c'est-à-dire contenant un élément double, et chacun d'eux compte deux fois; elle admet aussi comme élément bi tangent doublement singulier, comptant quatre fois, l'élément de seconde espèce commun aux deux éléments doubles ; il reste huit éléments bitangents proprement dits.

Pour appliquer le Tableau général, on supposera que a, a', j3, [3' coïncident avec l'élément bitangent doublement singulier ^ que '/] et t/, 6 et 9^, x et ■/! , k et \' coïncident respectivement avec les éléments bitangents singuliers de l'un des systèmes, et qu'il en est de même de \k et y/, v et v^, % et ^ ^ tû et t:' pour l'autre système.

On obtient alors, outre deux systèmes qui disparaissent :

i" Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /, contenant un couple double formé de l'élément bitangent doublement singulier, et quatre couples d'éléments bitangents

Hosted by