CHAPITRE XIV. — LA SEKIE QUARTIQUE. ôy l

gentes à/ et contenant les trois éléments doubles de/; les couples de ce système sont aie, a^, vx, vX, -/^s, yj^; le réseau correspondant est de l'espèce (g), et les éléments communs k q el k sont tous distincts; si q est conjuguée par rapport à la suite triple qui constitue /f, les éléments inflexionnels de f sont confondus avec les éléments doubles.

350. Supposons que l'un des éléments doubles devienne cuspidal; on obtient ainsi une quartique (H), de cinquième classe, à quatre éléments inflexionnels; il y a trois éléments bi tangents doublement singuliers comptant l'un quatre fois, et les deux autres six fois; quatre éléments bitangents singuliers dont deux comptent trois fois, et les deux autres deux fois; enfin deux éléments bitangents proprement dits. On passe du cas précédent à celui-ci en supposant que y et Ç, r^ et A^ v et tï, V et ^ coïncident respectivement.

On obtient, outre cinq systèmes qui disparaissent : i*^ Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /, dont les couples d'éléments bitangents sont aa deux fois, Ett trois fois, et )j.uJ -^ le réseau correspondant est de l'espèce (6) ou (c); la série q contient un élément double de /r, et trois des autres éléments communs k q el k sont confondus j

2^ Quatre systèmes de séries quadratiques triplement tangentes à /' et contenant un élément double; ces systèmes comptent deux fois^ l'un d'eux, par exemple, contient les couples as deux fois, Tj^ trois fois, xa; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (A); les éléments communs k q el k sont répartis en trois groupes de un, deux el trois éléments; q ne contient pas l'élément double de k;

3^ Un système, comptant trois fois, de séries quadratiques triplement tangentes k f el contenant l'élément cuspidal; les couples de ce système sont ys, r^x, \iz chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (^); la série q contient l'élément double de k, et est simplement tangente à k en deux autres éléments distincts;

4"^ Deux systèmes comptant trois fois, et analogues au précédent; les couples d'un de ces systèmes sont yv deux fois, T|X deux fois, ^[Jv, 7i|ji^; le réseau correspondant est de l'espèce (A); la série q

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3yi LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

contient l'élément double de k, et est simplement tangente à A' une fois;

5^ Un système, comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à/, et contenant les deux éléments doubles; les couples de ce système sont yr) trois fois, ex, a|j., aix^; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y); la série q est osculatrice à la série quadratique qui fait partie de A*, sans contenir un élément double de k;

6"^ Quatre systèmes, comptant chacun six fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /et contenant l'élément cuspidal et un élément double; les couples d'un tel système seront, par exemple, ay deux fois, '/)7ï deux fois, xç, tijj-.; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q touche la série quadratique qui fait partie de A", et contient un élément double de A;

n^ Un système, comptant douze fois, de séries quadratiques tangentes à/, et contenant les trois éléments doubles; les couples de ce système sont yy) deux fois, yx, r^e^ a^, air; le réseau correspondant est de l'espèce (g); la série q contient un élément double de A\

351. Si un second élément double devient cuspidal, la série /\ alors d'espèce (I), est de quatrième classe, avec deux éléments inflexionnels ; il y a trois éléments bitangents doublement singuliers dont l'un compte neuf fois, et les deux autres six fois; deux éléments bitangents singuliers comptant trois fois; enfin, un seul élément bitangent proprement dit.

On passe du cas précédent à celui-ci en faisant coïncidera et e, 'f\ et 7î, X et [j/; et l'on obtient, outre sept systèmes qui disparaissent :

1° Un système, comptant deux fois, de séries quadratiques triplement tangentes à / et contenant l'élément double; les couples de ce système sont ax et y^ trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (h); la série q a ses éléments communs avec k confondus trois par trois;

2° Deux systèmes, comptant trois fois, de séries quadratiques triplement tangentes à/, et contenant un élément cuspidal; les couples d'un des systèmes sont aa deux fois, -z]^ trois fois, et xpi; le réseau correspondant est de l'espèce (A); la série q contient

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