CHAPITRE XIV. — LA SERIE QUARÏIQUE. 3y

l'élément double de k et a en commun avec k trois éléments confondus ;

3"^ Deux systèmes, comptant six fois, de séries quadratiques doublementtangentes à/, et contenant l'élément double et nn élément cuspidal ; les couples de l'un de ces systèmes sont ax deux fois, yri trois fois et ajj. ; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient un élément double de k et est osculatrice à la série quadratique qui figure dans A";

4° Un système, comptant neuf fois, de séries quadratiques doublement tangentes âf, et contenant les deux éléments cuspidaux; les couples de ce système sont ay, y^x, Tj^, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (./); la série q contient les deux éléments doubles de k et touche A;

5^^ Un système comptant neuf fois et semblable au précédent; les couples de ce système sont r^r^ deux fois, ay deux fois, x^, 7i[j»; le réseau correspondant est de l'espèce (y); Ja série q contient l'élément double de k et touche la série quadratique qui figure dans k ;

6'' Un système, comptant dix-huit fois, de séries quadratiques tangentes à y, et contenant les trois éléments singuliers de f; les couples du système sont ar, deux fois, y/^ deux fois, a^, yx; le réseau correspondant est de l'espèce (g)] la série q contient deux éléments doubles de A".

3o2. L'espèce (J) correspond aux séries quartiques à trois éléments cuspidaux; elles sont de troisième classe, et n'ont pas d'élément inflexionnel ; elles possèdent trois éléments bitangents doublement singuliers comptant chacun neuf fois et un élément bitangent proprement dit.

On passe du cas précédent à celui-ci en faisant coïncider a et x, y et H. On trouve alors, outre neuf systèmes qui disparaissent :

1° Trois systèmes, comptant chacun neuf fois, de séries quadra-" tiques doublement tangentes k f et contenant deux des éléments cuspidaux; les couples d'un de ces systèmes sont aa deux fois, yr^ trois fois, aa; le réseau correspondant est de l'espèce (y); la série q contient l'élément double de k et est osculatrice à la série quadratique qui figure dans k]

2° Un système, comptant vingt-sept fois, de séries quadratiques

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tangentes à /* et contenant les trois éléments cuspidaux; Jes couples de ce système sont ay, yy], ar^ chacun deux fols; le réseau correspondant est de l'espèce {g)] la série q contient les trois éléments doubles de k.

353. Une série cubique et une série linéaire forment une série quar tique (K) à trois éléments doubles alignés. La série linéaire est un élément bitangent triplement singulier, comptant quatre fois; les éléments tangents à la série cubique contenant les éléments doubles de / sont douze éléments bitangents singuliers, comptant chacun deux fois.

On passe du Tableau général à ce cas en faisant coïncider a, ^, a/, ^' avec l'élément bitangent triplement singulier, et supposant que Y et y', S et S^, . . . , tî et tc^, sont respectivement identiques.

Outre trois systèmes qui disparaissent, on a :

1° Douze systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes kf] l'un d'eux contient les couples yS, 7)9^ ^tc chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce {a)] la série q est trois fois tangente à A' et correspond à la série particulière / dont k est la hessienne, comme on le voit en cherchant la série quadratique de l'espace Y qui correspond à une série linéaire de l'espace X ;

2° Douze systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à / et contenant deux des éléments doubles de f] les couples d'un de ces systèmes sont ay deux fois, 7][ji, 9v, xÇ, Xtî; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y), et la série q est tangente à la série linéaire contenue dans k.

354. Une série quartique de l'espèce (L) sera composée de deux séries quadratiques quelconques; elle a donc quatre éléments doubles dont trois ne sont pas alignés. Elle possède six éléments bitangents doublement singuliers, comptant chacun quatre fois, et quatre éléments bitangents proprement dits. On passe du cas (G) à celui-ci en faisant coïncider s et Ç, x et \^ \ et tî.

Outre quatre systèmes qui disparaissent, et un autre comptant huit fois, et auquel ne coirespond pas de réseau déterminé, on trouve :

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