IV. — Théorèmes généraux sur les séries quartiques

362. L'étude qui précède, et qui est nécessaire pour donner une idée nette des séries quartiques, conduit par elle-même à de nombreuses propositions. Nous allons en énoncer quelques-unes comme exemples.

Considérons une série de l'espèce (D); en général, il lui correspond quatre réseaux de l'espèce (/), dont la jacobienne est composée d'une série quadratique et d'une série linéaire ; en considérant les couples d'éléments bitangents appartenant à ces réseaux, on voit que l'on peut dire : les seize éléments, déterminés par les deux systèmes de 'quatre éléments tangents à la série y et contenant un des éléments doubles àe f, appartiennent quatre par quatre à quatre séries quadratiques contenant les deux éléments doubles de /*; ces deux systèmes de quatre éléments déterminent donc le même rapport anharmonique.

Si à une série /correspond un réseau de l'espèce (c), la correspondance entre éléments associés, qui transforme / en elle-même, comprend en particulier une liomologie involutive; si le réseau est de l'espèce {d), cette correspondance se décompose en trois liomologies involutives.

Si le réseau est de l'espèce (/), la correspondance précédente est une inversion ordinaire; s'il est de l'espèce (i), la correspondance est une inversion telle que la série quadratique qui sert à la définir se décompose; si enfin Je réseau est de l'espèce (y) ou (A"), la correspondance se réduit à une homologie involutive, cas particulier de l'inversion, si l'on veut. Nous aurons l'occasion de revenir plus tard sur ces inversions qui conservent la série /dans certains cas.

363. Si la série quartique est de l'espèce (L), c'est-à-dire composée de deux séries quadratiques g et A, on voit qu'il existe trois

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systèmes de séries quadratiques bilangentes à g et A; chacun de ces systèmes contient les éléments tangents communs à g et A, répartis en deux couples; si (t)) et (Ç), (9) et (x) sont ces deux couples, les éléments (7;^) et (9x) déterminent un élément (^) ajant même pôle [x) par rapport à g et h] les éléments (a) et ([3) de la série du faisceau {g^ h) qui a [x) comme élément double, comptés deux fois, forment aussi deux couples du système considéré. L'application des théorèmes généraux nous fait retrouver cette proposition connue : les élément de contact de (t)), (Ç), (9), (x) avec g et h appartiennent à une même série quadratique. On voit encore que si une série du système considéré plus haut touche g en {y) et (s), h en [t) et (w), les éléments {yz) et {tu) contiennent [x) et sont conjugués harmoniques par rapport à (a) et ((3); les éléments déterminés par {yt) et {zu)^ (yu) el (zt) appartiennent à (^); les éléments (yt)^ {^^^)^ (jK^^)? (-^0 touchent une série quadratique; si une série quadratique contenant (y), (^), (^), (w)a encore avec ^' et h en commun (y^), (5') et(^^), (u^)^ ces quatre éléments déterminent une seconde série quadratique doublement tangente à (g) et (h); etc.

Ces diverses propriétés se retrouvent sans peine de la façon suivante. Si F :::=^ o est l'équation d'une série quadratique doublement tangente aux séries g =^ o et A = o, on a

g' et h' étant des fonctions linéaires; donc

de là résulte que \^ g -{-X^h^^o est une série décomposable du faisceau {g^ A), ce qui détermine X, et)^. Si l'on a par ce calcul

p el q étant deux fonctions linéaires, on en déduit les (mv) étant des paramètres liés par la relation

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