CHAPITRE XJV. — LA SERIE QUARTIQL'E

contenant les deux éléments doubles de /, avec même élément tangent en l'élément singulier spécial; les couples sont yy deux fois, av trois fois, a^; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément triple de k et l'élément de k auquel correspond une série linéaire double.

G^ Ce cas résulte soit du cas général (F) en faisant coïncider a avec 9 et v, x avec tt, \ avec \\ soit du cas général (G) en faisant coïncider a avec 'z^, y, p., ^ et v^ £ avec x et ^, (^ avec \ et tu; dans le premier cas, l'élément tangent double proprement dit est y, dans le second v^

Outre quinze systèmes disparaissant, il existe :

1° Un svstème de séries quadratiques quadruplement tangentes à ./, dont les couples sont vX six fois; le réseau correspondant est de l'espèce (a) ou (6), les six éléments tangents communs k q el k coïncidant; on exclura d'ailleurs dans le cas {a) lès séries q auxquelles correspondraient une série cubique et une série linéaire;

2° Deux s^^stèmes, comptant six fois, de séries triplement tangentes à /et contenant l'élément singulier; les couples sont, par exemple, ax cinq fois, yX; le réseau correspondant est de l'espèce {e)] la série q a cinq éléments communs avec k confondus avec l'élément double de k]

3" Un système, comptant quinze fois, de séries doublement tangentes à/, et contenant l'élément singulier de/, avec même élément tangent; les couples sont aa trois fois, vX deux fois, ay; le réseau correspondant est de l'espèce {k)\ la série q contient l'élément triple de A" ;

4° Un système, comptant vingt fois, de séries tangentes à/ et osculatrices en l'élément singulier de/; les couples sont ax et aX, chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/?^), la série q étant quelconque.

H^ Ce cas résulte du cas (H) en faisant coïncider a avec y, Tj, ^, p. et [JL^, £ avec x et?:. Vingt et un systèmes disparaissent, et il reste :

i^ Un système, comptant sept fois, de séries quadratiques triplement tangentes à / et contenant l'élément singulier, dont les couples sont as six fois ; le réseau correspondant est de l'espèce (<?), et la série q a ses six éléments communs avec k confondus avec l'élément double de /r ;

An. — I. 25

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2° Un système^ comptant trente-cinq fois, de séries quadratiques tangentes à / et osculatrices en l'élément singulier; les couples sont aa et as, chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce {in)^ la série q contenant l'élément de k auquel correspond une série linéaire double»

r. Ce cas résulte du cas (G) en faisant coïncider a avec ? et tï, y avec x et Xj 'f\ avec s et Ç. Outre douze systèmes qui disparaissent, on trouve :

1° Trois systèmes de séries quadruplement tangentes à/*; les couples de l'un d'eux sont aa quatre fois^ ^^' ^ W ] le réseau correspondant est de l'espèce (6) ou (c); la série q a quatre éléments communs avec k confondus avec un élément double de k]

2^ Six systèmes, comptant huit fois, de séries doLiblement tangentes à/, et contenant l'élément triple de/avec un même élément tangent; les couples de l'un d'eux sont ay quatre fois, y|[ji, 7)v ; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ou (/f), la série q touchant la série linéaire qui appartient deux fois à A*.

J''. On arrive à ce cas en partant du cas (H) et faisant coïncider a avec tc et ^, y avec '/i, s et x.

Outre vingt systèmes qui disparaissent, on trouve :

1° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /, dont les couples sont aa cinq fois et [jljjl^; le réseau correspondant est de l'espèce (è) ou (c), cinq des éléments communs k q et k étant confondus avec un élément double de k]

2° Un système, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à/*, et contenant l'élément triple avec même élément tangent; les couples sont yy quatre fois, api, au^; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ou (/c), la série q étant tangente à la série linéaire qui figure deux fois dans /f, en un élément auquel correspond une série linéaire double; les deux autres éléments communs k q et k sont distincts;

3*^ Deux systèmes, comptant seize fois, de séries analogues aux précédentes; les couples de l'un sont ay cinq fois et yui; le réseau correspondant est de l'espèce (i) ; la série q touche la série linéaire qui figure deux fois dans k en l'élément triple de k.

K^ Ce cas résulte du cas général ( J) en faisant coïncider a, y, et ^f\. Trente-six systèmes disparaissent, et il reste un système, comptant vingt-sept fois, de séries quadratiques doublement tan-

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