CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GENERALE

seront orthogonaux à un même cercle Gg facile à déterminer. Ce réseau contiendra en particulier un faisceau de séries linéaires, auxquelles appartiendra le centre de Gg, qui est par suite l'éJément commun à tous les éléments tels que Gpy, obtenus en combinant deux à deux les cercles du réseau. Le réseau contiendra aussi une infinité simple de cercles de rajon nul, et le lieu de leurs centres sera évidemment G§.

391. Deux cercles Ga et Gp déterminent un faisceau de cercles

qui ont tous en commun les deux mêmes éléments. Tous ces cercles sont évidemment orthogonaux à tous les cercles d'un second faisceau conjugué du premier; le premier faisceau contient une série linéaire GaS? lieu des centres de tous les cercles du second faisceau. Il contient aussi deux cercles de rayon nul dont les centres appartiennent à {ab)^ et sont communs à tous les cercles du second faisceau; ces deux centres sont conjugués harmoniques par rapport aux centres de Ga et Gp, si ces deux cercles sont orthogonaux.

On peut multiplier, pour ainsi dire, indéfiniment ces propriétés des cercles.

392. Considérons trois cercles Gp, Gy, G§, et cherchons le lieu des éléments (a) relatifs aux cercles Ga pour lesquels on a, en supposant dans tout ce qui suivra, pour simplifier l'écriture, iim^=. 1 i p. = T ,

cosGaCp cosCaGy cosCaCg

\^ u, V étant des constantes données.

Si p est la valeur commune des rapports précédents, on a

<ï>a[3 4- D «4 ^4 -H pX y/ — ^ cf? sj — T^^ = o,

et deux équations analogues.

Le lieu cherché est donc l'élément linéaire

*a(3 ^4 >^ y/— Tp.

[j, y — Fya

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Cette série linéaire contient un élément linéaire fixe, quels que soient X, [x, v, déterminé par

déjà considéré précédemment.

Tous les cercles répondant à la question forment un faisceau, puisqu'ils vérifient les relations

Si Ce est un cercle du réseau (Cp, Cy, Cg), on a évidemment en faisant

C£=: WiG^-H WoCs^- W3C8,

cos GoiCs

v/-rs^ v/-r,. v/-r,.

de sorte que tous les cercles C^ jouent le même rôle.

Si l'on se donnait un quatrième cercle quelconque Q, et que l'on voulût déterminer C^ de façon que

cosCaCp cosGojGy cosGccGg cosG^G^

X ~ (i- V TT

% étant une nouvelle constante, un seul cercle répondrait à la question.

Si l'on considère les cercles (a) tel que l'on ait simplement

cosGctGft cosGaGv

p étant arbitraire, on voit qu'ils forment nn réseau; d'ailleurs comme plus haut

cosGaGg

Wj A '- + W2 [Jt •

siCgest un cercle du faisceau (Cp, Cy) tel que Cs= ci)] C(3+ 0)2 Cp. Si p est donné, cosC^Cg est donc constant; en particulier, il sera

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