Si l'on envisage deux systèmes de quatre éléments (a

(jB), (y), (S) et (a), ((3^), (y')^ (§0? ^^ multiplication des deux matrices

donne, en faisant, comme plus haut^ 2 im = 2i]j. = 1.

cosaa' cosaj^' cosay' cosaâ'

cos^a' cos^fi' cospy' cospô'

cosya' cosyP' cosy^' cosyS'

cosSa' cosSp' cosSy' cosSS'

Nous désignerons, pour abréger, le premier membre de celte

formule par Icosaa^l/,.

Si, de même, on considère deux systèmes de n éléments (a), (P), . . ., d'une part et (7/), (j3^), . .. , d'autre part, on aura, en adoptant une notation analogue,

|cosaa'|,i = o, pour ^ ^ 4 •

Envisageons maintenant deux systèmes de n cercles Ga, G^, Gy, . . . , Ga', Gp', Gy', . . . , dont les rayons seront r^j /'p, '"y? . . • ?

^a', fy, fy, —

En employant des notations analogues aux précédentes, et multipliant des matrices dont les premières lignes seront respectivement a^, a2, ag, a4, et ^^' ^ ^^ , <ï>c<' , Da'^, on trouvera d'abord pour ^z^ 5, la relation simple

IcosCaCa' « = o.

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43l4 livre II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Si /i << 5 , une opération analogue donnera, en multipliant ensemble des déterminants ou des matrices analogues aux matrices précédentes, mais dont le produit ne sera plus nul, la relation

suivante, où Ton a tenu compte de [cosaa^l/, = o, et de l'identité

de |<î>aa'|3 avec le produit D^(a'^y)(oL^ ^^Y) :

|cosaa'j^ cos/c

COS^ct' T

|cosGaG'^

OÙ la notation employée au numérateur du second membre désigne

le déterminant |cosaa'|,ï bordé par une dernière colonne formée de cosTa? cosrp, . . ., i et une dernière ligne formée de cos/^a',

COS/'p', . . ., I.

Si d'ailleurs n ;> 4? on a évidemment

I cosaa \n cos7'(x cos^a' 1

de sorte que la formule précédente est générale, la valeur de ses deux membres étant zéro pour /2 >> 4*

Cette formule générale a de nombreuses applications évidentes. Signalons seulement qu'on peut faire coïncider partiellement ou totalement les deux systèmes de cercles. On peut aussi supposer que Gc4, par exemple, devienne l'absolu; alors on peut prendre

cotang/'(x = — \/~ 1? cosCaCa' = cotangra' / — h

Ca' peut aussi devenir l'absolu.

Si Ca est une série linéaire, cosra==o.

Si Ca est un cercle de rayon nul, on remplacera

cosaa

sm 7'a

sin/^aCOsCaCa' par

cosaa — cos/'a' sinra'

Une formule tout analogue aura lieu pour les cycles équivalents aux cercles donnés.

394. Procédons comme précédemment, mais en employant des déterminants ou matrices dont les premières lignes soient respectivement ai, a2, as, a,,, \/—Ta^ et ^ol\, ^t,^ ^a'3^ ^a',, \/ — ^a'S on

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