CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

obtiendra de la même façon, en tenant compte des résultats déjà acquis et employant des notations analogues, la relation générale

|cosaa'|,i

cosTa

smra

COS/'a'

sin/v

1 sin2

2 \n sm/^a sm/^p . . . sm/^a' sm/^p' . . .

la valeur commune des deux membres étant zéro pour /2 >> 5. La notation du second membre correspond comme plus haut à un

déterminant d'ordre n -\- i obtenu en bordant jcosaa'l;^ de deux lignes et deux colonnes suffisamment indiquées.

On aura, comme ci-dessus, de nombreux cas particuliers, mais on peut en signaler d'autres. Si l'on suppose, G^ n'étant plus un cercle, que l'on ait

«1 =r «2 = as = «4 = O,

la quantité ^ — V^^^ n'étant pas nulle, la formule subsistera si l'on

fait

. « ^oL^a.' cosrQ^ cosaa'

'2 sin2 ^ =1 — —^

sinrc( sinr^

On pourra en faire autant pour Ca'.

Si l'on suppose de même, Cp n^étant plus un cercle, que l'on

ait p^ = j32= 63 = y/ — Fp^^o, la quantité [^4 n'étant pas nulle,

la formule subsiste, à condition de remplacer 2sin-— ^ — ^sinrp par cot/^p', cosrppar i, sinr^et cos pp^par o. Si Ton en fait autant

relativement à Cp', on remplacera en outre 2 sm'^— ^- — ^sin;^^ sin;'^'

par I .

Si l'on remplace à la fois Ca et Cp comme nous venons de l'in-

diquer, on aura a remplacer 2 sm^^ ^ sm/'p par o.

395. Les formules qui précèdent permettent de résoudre simplement la plupart des problèmes que l'on peut se proposer sur les cercles. Nous allons en donner quelques exemples.

Supposons d'abord que l'on cherche un cercle Ga dont les distances à trois cercles donnés Gp, Gy, Gs soient données; on

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pourra déterminer son rayon par la formule

— i cot/'cc cot/'p cotTy colr^

cot/^cc I cosGûcGg cosGûcGy cosGo^Gg

cot/^^ cosGaGjB

COtTy cosG^Gy cosGj^Gy

cosGgGy cosGpGg I cosGyGs

cot/'g cosGoiGg cosG[3Gg cosGyGg i

c'est une équation du second degré en cotra; le problème a donc deux solutions.

Si (^) est un élément du cercle G^, on peut le considérer comme un cercle de rajon nul, et l'on a la relation

cos bec — cos7^ft coscx — cos;v cos<i.r — cos/^g

sin/'g

cosGaGp

cosGaG

cosGaGg

cosbx — cosrp

COSC^ — COSTy

sin Ty

cosdx — cos/'g sin 7^g

cosGaGp

sGpGy

cosGpGg

cosGc^Gy

cosGftG

cosGyGg

cosG^Gg cosGpGg

cosGyGg

où (b)^ (c), (d) sont les centres de Gp, Gy, Gg. Ge sera l'équation du système de deux cercles répondant à la question. Quand on a

cosGaGp = cosGaGy= cosGaGg=:ô,

l'équation en cot;^^ i^e contient pas de terme en cotr^, et l'on a un seul cercle répondant à la question; le second membre de l'équation précédente est un carré parfait, comrne on le vérifie sans peine.

L'équation du cercle orthogonal à Gp, Gy, Gg s'obtient directement sous la forme

*Ti *T2 *T3 *0i ^o. *Ô3

Xi X2 ^3 /— F^^

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