CHAPITRE XV. — Lk GÉOBIÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
menls (x). Ce sont celles-là seulement que nous allons envisager, et ce que nous allons dire pourra être répété en partant des cycles, et considérant les éléments (i) au lieu des (x).
La condition qui caractérise les substitutions que nous avons en vue est évidemment qu'un réseau de cercles assujettis à contenir un élément donné (y), se transforme en un réseau de cercles assujettis de même à contenir un élément {y'). -Les cercles C^ qui contiennent (y) vérifient la relation
et, par suite, se transforment en cercles vérifiant une nouvelle relation linéaire
OÙ Von ohtient y\^ y[^y y.^^ y\ en appliquant à y,, JK25 J^s et y/ — Fj^ la substitution transposée de la substitution considérée. Il faut ici avoir
F(7'n72Jr3)-i-r? = o.
et, par suite, on voit que les substitutions transposées des substitutions considérées doivent conserver la série quaternaire définie par F(jKi, ^2,^3) '^yl'^ ^^? 1^^ (y) étant les variables auxquelles sont appliquées ces substitutions transposées.
Ceci revient à dire que les substitutions données doivent conserver la série quaternaire définie par F^^ =r o, puisque les (y) et les (a) étant considérées comme variables de première et de seconde espèce, F^^ est la forme équivalente à F(jri , JK2^ ./s) -f-JK^.
Les substitutions considérées sont donc celles qui, dans l'espace à trois dimensions rempli par les cercles, conservent un absolu dont l'équation serait F^^ = o^ et nous voyons par suite, immédiatement, que ces substitutions changent un cercle de rayon nul en un autre cercle de rayon nul, et jouissent de la propriété fondamentale de conserver la distance de deux cercles.
Les centres de deux cercles de rayon nul correspondants sont d'ailleurs liés l'un à l'autre comme deux éléments (x) et (x') correspondants.
40L Prenons l'équation de l'absolu sous la foi^me
F = — XI -\~ 4 ^2 ^3= o, An. — I. • 28
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et définissons un élément [x) quelconque par les paramètres Çk) et ([Ji) des deux éléments de contact avec F des éléments tangents à F qui contiennent (^), de sorte que
Les paramètres (à) et (ix) jouent dans ces formules le même rôle; maisj si l'on oriente l'élément (^), il n'en sera plus de même, car on a ¥x^ = — Ç^V'Yi ^^ donner un signe à y/ — Y^^ revient à détruire la symétrie qui existe entre les ().) et les ([Ji). Nous supposerons donc distinctes les deux séries d'éléments (X) et {]j.) qui constituent l'absolu, et nous prendrons sj — F^2=:(Xa). On peut dire encore qu'en orientant les éléments (^), on dédouble ces éléments, chaque élément (^x) non orienté donnant lieu à deux éléments orientés, suivant que l'on prend une détermination ou l'autre pour \J — Fx-] suivant aussi que l'on assigne le premier rang aux paramètres Çk) ou aux paramètres (ut) qui déterminent {x). C'est dans ce sens que nous avons déjà considéré un cercle comme une certaine série quadratique dédoublée.
L'équation d'un cercle G^ peut s'écrire
0^1 (Xi [J.2+ )^2P-i)-^ a2Xi{j.i-f- a3X2^.2-l- ^^4(^1 P-2— ^^2[^-i)= o;
ce cercle est de rayon nul si l'on a ici
Ta^ — — 4 af + 4 ^2 aa — 4 a| = o,
et, dans ce cas, le premier membre de l'équation précédente se décompose en un produit de deux facteurs linéaires, l'un par rapport aux (1), l'autre par rapport aux [\k) : ces deux facteurs, égalés à zéro, représentent deux éléments tangents à l'absolu.
Les substitutions que nous étudions sont assujetties à changer un cercle de rayon nul en un cercle de rayon nul; si donc, à l'élément {x) ou Çk) et ([a), elles font correspondre l'élément [x') ou (V) et (ix^), elles seront telles qu'elles établissent des relations linéaires entre les Çk) et les Çk') d'une part, les (a) et les {uJ) d'autre part, ou bien entre les ().) et les ([x^), les (p.) et les (V). On les obtiendra donc en posant soit
Xi = Œi \\ -f- cr'i X'2, [J.1 = Ti \J.\ + t'j fj.;,
A2 = <72 A I -4- (j'.y A2 , JX2 = T2 \i.\ -f- T2 (J-o 1
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