CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

En général, les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires contienoent an élément fixe de coordonnées

facile à déterminer en remarquant que a-, et a,^ sont nuls en même temps.

Etudions le cas spécial où la substitution est involutive; il faut et il suffît pour cela c[ue les deux substitutions faites sur les Çk) et les [\k) soient elles-mêmes involutives, c'est-à-dire que l'on ait

-4- (j^ = O, Ti -\- TT^ = O.

Si l'élément fixe commun à toutes les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires n'appartient pas à l'absolu, nous pouvons le prendre pour l'élément fondamental 0|, et alors

cr, = T, ==0,

de sorte que l'on a simplement

Xi = c7'^x;, [j.i = x'i fj/g,

Les éléments tangents à l'absolu, déterminés comme éléments doubles de ces involutions, forment deux couples, et les éléments de contact des éléments de chaque couple sont conjugués harmoniques sur l'absolu par rapport à O2 et O3. En combinant les éléments de ces deux couples ensemble, on détermine deux couples d'éléments de première espèce A et B, A^ et B^, les éléments AB et A^B^ contenant O,. On voit aisément dans ce cas que tous les cercles doubles pour la substitution envisagée sont ceux des deux faisceaux déterminés par A et B, A^ et B^; ces deux faisceaux sont conjugués, et les cercles de l'un sont orthogonaux aux cercles de l'autre.

Si l'élément fixe commun à toutes les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires appartient à l'absolu, on peut le prendre pour O3, et alors cr', = t', = o. On se trouve dans un cas limite du précédent.

Dans tous les cas, en composant une substitution conforme quelconque avec un mouvement convenablement choisi, on verra

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sans peine qu'on peut la ramener à une substitution conforme involutive.

403. Supposons maintenant que l'on considère une substitution du second type^ les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires contiennent encore un élément fixe déterminé comme précédemment. Si cet élément n'appartient pas à l'absolu, prenons-le pour Oi, de sorte que

Çj. ^ ^2 ^

S'il y ainvolution, on a (7'j=:Tj = c72 = T2 = o, et de plus cr^ Ti^ct^^t., , de sorte que, avec cette condition, on a simplement

Xi = Œi IX\, [J-i — TiX'^,

Cette substitution spéciale, que nous appellerons ÎJiçersion générale, jouit de propriétés importantes. D'abord deux éléments correspondants sont alignés avec Oi ; de plus, pour deux tels éléments i^x) et (^^), en déterminant O^ par >si=: i, \^

.2=1, on a

x;fa'2-4-x'2|i.;

tang2-^

cos . = iim

t, par suite,

cos — -. —

2 mi

,0^x' tan 2-2 ^-

CTJT2X2 \l\

ce qui achève de définir la correspondance entre les [x) et les {x^). Les cercles doubles pour cette transformation sont d'abord le cercle d'équation

TiXi [J.2 — ^2 X2 p-i = O, OU

(ti -- Ta )^i H- (^1 -1- ^2 ) /— F^^ = Oj de centre O^, et dont le rayon R est donné par la formule

tang2 :=. 1,

quand on oriente 0^ comme précédemment; puis tous les cercles orthogonaux à celui-là, formant un réseau.

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